Номер 36.1, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.1. Пусть $z = 2(\cos 0,2\pi + i \sin 0,2\pi)$. Верно ли, что:

а) $z^4$ принадлежит первой координатной четверти;

б) $z^4$ принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше $\sqrt{300}$;

в) $z^8$ принадлежит третьей координатной четверти;

г) $z^8$ принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 100?

Исходное комплексное число задано в тригонометрической форме $z = 2(\cos(0,2\pi) + i \sin(0,2\pi))$. Его модуль $r = |z| = 2$, а аргумент $\varphi = \arg(z) = 0,2\pi$.

Для возведения комплексного числа в степень $n$ будем использовать формулу Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$. При этом модуль числа $|z^n| = r^n$, а его аргумент $\arg(z^n) = n\varphi$.

Принадлежность комплексного числа к координатной четверти определяется его аргументом $\psi$ (с точностью до $2\pi k$, где $k$ - целое число):

• I четверть: $0 < \psi < \frac{\pi}{2}$ (т.е. $0 < \psi < 0,5\pi$)
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < \psi < \pi$ (т.е. $0,5\pi < \psi < \pi$)
• III четверть: $\pi < \psi < \frac{3\pi}{2}$ (т.е. $\pi < \psi < 1,5\pi$)
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \psi < 2\pi$ (т.е. $1,5\pi < \psi < 2\pi$)

а) z? принадлежит первой координатной четверти

Найдем $z^4$. По формуле Муавра:

$z^4 = 2^4(\cos(4 \cdot 0,2\pi) + i \sin(4 \cdot 0,2\pi)) = 16(\cos(0,8\pi) + i \sin(0,8\pi))$.

Аргумент числа $z^4$ равен $\arg(z^4) = 0,8\pi$.

Сравним аргумент с границами четвертей: $0,5\pi < 0,8\pi < \pi$.

Следовательно, число $z^4$ принадлежит второй координатной четверти, а не первой. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

б) z? принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше v300

Данное утверждение состоит из двух частей. Проверим каждую.

1. Как было показано в пункте а), $\arg(z^4) = 0,8\pi$, что соответствует второй координатной четверти. Эта часть верна.

2. Модуль числа $z^4$ равен $|z^4| = 2^4 = 16$. Проверим неравенство $16 < \sqrt{300}$. Возведем обе части в квадрат: $16^2 = 256$, а $(\sqrt{300})^2 = 300$. Неравенство $256 < 300$ верно, значит и $16 < \sqrt{300}$ тоже верно. Эта часть также верна.

Так как обе части утверждения верны, то и все утверждение верно.

Ответ: Верно.

в) z? принадлежит третьей координатной четверти

Найдем $z^8$. По формуле Муавра:

$z^8 = 2^8(\cos(8 \cdot 0,2\pi) + i \sin(8 \cdot 0,2\pi)) = 256(\cos(1,6\pi) + i \sin(1,6\pi))$.

Аргумент числа $z^8$ равен $\arg(z^8) = 1,6\pi$.

Сравним аргумент с границами четвертей: $1,5\pi < 1,6\pi < 2\pi$.

Следовательно, число $z^8$ принадлежит четвертой координатной четверти, а не третьей. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

г) z? принадлежит четвёртой координатной четверти, а его модуль больше 100

Проверим обе части этого утверждения.

1. Как было показано в пункте в), $\arg(z^8) = 1,6\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти. Эта часть верна.

2. Модуль числа $z^8$ равен $|z^8| = 2^8 = 256$. Неравенство $256 > 100$ очевидно верно. Эта часть также верна.

Так как обе части утверждения верны, то и все утверждение верно.

Ответ: Верно.