Номер 35.20, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

D35.20. Найдите те значения параметра $a$, при которых:

a) уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $i$;

б) уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2i$;

в) уравнение $z^2 + az + 24i = 0$ имеет корень $1 + i$;

г) уравнение $z^2 + az + 1 + i = 0$ имеет корень $-3 + 2i$.

а) Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $z = i$, необходимо подставить это значение корня в уравнение.

Подставляем $z = i$:

$i^2 + a \cdot i + 5 = 0$

Поскольку $i^2 = -1$, уравнение принимает вид:

$-1 + ai + 5 = 0$

Упрощаем выражение:

$4 + ai = 0$

Теперь выразим $a$:

$ai = -4$

$a = \frac{-4}{i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$a = \frac{-4 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{-4i}{i^2} = \frac{-4i}{-1} = 4i$

Ответ: $a = 4i$

б) Дано уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ и корень $z = -2i$. Подставим значение корня в уравнение.

$(-2i)^2 + a(-2i) + 13 = 0$

Вычислим квадрат корня: $(-2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$.

Подставляем полученное значение обратно в уравнение:

$-4 - 2ai + 13 = 0$

Упрощаем:

$9 - 2ai = 0$

Выражаем $a$:

$2ai = 9$

$a = \frac{9}{2i}$

Избавляемся от мнимой единицы в знаменателе:

$a = \frac{9 \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{9i}{2i^2} = \frac{9i}{2(-1)} = -\frac{9}{2}i$

Ответ: $a = -\frac{9}{2}i$

в) Дано уравнение $z^2 + az + 24i = 0$ и корень $z = 1 + i$. Подставим значение корня в уравнение.

$(1 + i)^2 + a(1 + i) + 24i = 0$

Вычислим квадрат корня: $(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$2i + a(1 + i) + 24i = 0$

Упрощаем:

$a(1 + i) + 26i = 0$

Выражаем $a$:

$a(1 + i) = -26i$

$a = \frac{-26i}{1 + i}$

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $1 - i$:

$a = \frac{-26i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-26i + 26i^2}{1^2 - i^2} = \frac{-26i - 26}{1 - (-1)} = \frac{-26 - 26i}{2}$

Разделим числитель на знаменатель:

$a = -13 - 13i$

Ответ: $a = -13 - 13i$

г) Дано уравнение $z^2 + az + 1 + i = 0$ и корень $z = -3 + 2i$. Подставим значение корня в уравнение.

$(-3 + 2i)^2 + a(-3 + 2i) + 1 + i = 0$

Вычислим квадрат корня: $(-3 + 2i)^2 = (-3)^2 + 2(-3)(2i) + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$(5 - 12i) + a(-3 + 2i) + 1 + i = 0$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$a(-3 + 2i) + (5 + 1) + (-12i + i) = 0$

$a(-3 + 2i) + 6 - 11i = 0$

Выражаем $a$:

$a(-3 + 2i) = -6 + 11i$

$a = \frac{-6 + 11i}{-3 + 2i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-3 - 2i$:

$a = \frac{(-6 + 11i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)} = \frac{18 + 12i - 33i - 22i^2}{(-3)^2 - (2i)^2} = \frac{18 - 21i - 22(-1)}{9 - 4(-1)} = \frac{18 - 21i + 22}{9 + 4} = \frac{40 - 21i}{13}$

Представим ответ в алгебраической форме:

$a = \frac{40}{13} - \frac{21}{13}i$

Ответ: $a = \frac{40}{13} - \frac{21}{13}i$