Номер 35.19, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.19. Найдите те значения параметра $a$, при которых:

а) уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имеет корень $z = i;$

б) уравнение $z^2 - 8iz + a = 0$ имеет корень $z = 3 - i;$

в) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $z = -i;$

г) уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$ имеет корень $z = -10 + i.$

Для нахождения значения параметра $a$ в каждом случае необходимо подставить данный корень $z$ в соответствующее уравнение и решить полученное уравнение относительно $a$.

а) уравнение $z^2 - 2z + a = 0$ имеет корень $z = i$;

Подставляем $z = i$ в уравнение:

$(i)^2 - 2(i) + a = 0$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$-1 - 2i + a = 0$

Выражаем $a$:

$a = 1 + 2i$

Ответ: $a = 1 + 2i$

б) уравнение $z^2 - 8iz + a = 0$ имеет корень $z = 3 - i$;

Подставляем $z = 3 - i$ в уравнение:

$(3 - i)^2 - 8i(3 - i) + a = 0$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат:

$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

Теперь умножим второе слагаемое:

$-8i(3 - i) = -24i + 8i^2 = -24i - 8$

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

$(8 - 6i) + (-8 - 24i) + a = 0$

$8 - 6i - 8 - 24i + a = 0$

Приводим подобные члены:

$-30i + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 30i$

Ответ: $a = 30i$

в) уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $z = -i$;

Подставляем $z = -i$ в уравнение:

$(-i)^2 + 6(-i) + a = 0$

Так как $(-i)^2 = i^2 = -1$, получаем:

$-1 - 6i + a = 0$

Выражаем $a$:

$a = 1 + 6i$

Ответ: $a = 1 + 6i$

г) уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$ имеет корень $z = -10 + i$.

Подставляем $z = -10 + i$ в уравнение:

$(-10 + i)^2 + 10i(-10 + i) + a = 0$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат:

$(-10 + i)^2 = (-10)^2 + 2(-10)i + i^2 = 100 - 20i - 1 = 99 - 20i$

Теперь умножим второе слагаемое:

$10i(-10 + i) = -100i + 10i^2 = -100i - 10$

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

$(99 - 20i) + (-10 - 100i) + a = 0$

$99 - 20i - 10 - 100i + a = 0$

Приводим подобные члены:

$(99 - 10) + (-20i - 100i) + a = 0$

$89 - 120i + a = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = -89 + 120i$

Ответ: $a = -89 + 120i$