Номер 35.12, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35.12. Вычислите $\sqrt{a+bi}$, решив уравнение $(x+yi)^2 = a+bi$ или использовав формулу

$\sqrt{a+bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \right):$

a) $\sqrt{3-4i};$

б) $\sqrt{3+4i};$

в) $\sqrt{4-3i};$

г) $\sqrt{12+5i}.$

Для вычисления квадратного корня из комплексного числа $a + bi$ воспользуемся формулой:

$\sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}} + i \cdot \frac{b}{|b|} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}} \right)$

a) Вычислим $\sqrt{3 - 4i}$.

В данном случае $a = 3$, $b = -4$.

Найдем модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{-4}{|-4|} = -1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{3 - 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \cdot (-1) \cdot \sqrt{\frac{5 - 3}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{8}{2}} - i \sqrt{\frac{2}{2}} \right) = \pm (\sqrt{4} - i\sqrt{1}) = \pm(2 - i)$.

Ответ: $\pm(2 - i)$.

б) Вычислим $\sqrt{3 + 4i}$.

Здесь $a = 3$, $b = 4$.

Модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{4}{|4|} = 1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{3 + 4i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 3}{2}} + i \cdot 1 \cdot \sqrt{\frac{5 - 3}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{8}{2}} + i \sqrt{\frac{2}{2}} \right) = \pm (\sqrt{4} + i\sqrt{1}) = \pm(2 + i)$.

Ответ: $\pm(2 + i)$.

в) Вычислим $\sqrt{4 - 3i}$.

Здесь $a = 4$, $b = -3$.

Модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{-3}{|-3|} = -1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{4 - 3i} = \pm \left( \sqrt{\frac{5 + 4}{2}} + i \cdot (-1) \cdot \sqrt{\frac{5 - 4}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{9}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(3 - i)$.

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(3 - i)$.

г) Вычислим $\sqrt{12 + 5i}$.

Здесь $a = 12$, $b = 5$.

Модуль комплексного числа: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Знак мнимой части: $\frac{b}{|b|} = \frac{5}{|5|} = 1$.

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{12 + 5i} = \pm \left( \sqrt{\frac{13 + 12}{2}} + i \cdot 1 \cdot \sqrt{\frac{13 - 12}{2}} \right) = \pm \left( \sqrt{\frac{25}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pm \left( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(5 + i)$.

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(5 + i)$.