Номер 36.18, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.18. Пусть $\{z, z^2, z^3, ..., z^n, z^{n+1}, ...\}$ — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем $z = \cos 0,01\pi - i \sin 0,01\pi$.

a) Укажите наименьшее натуральное значение $n$, при котором $z^n$ принадлежит второй координатной четверти.

б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?

г) Найдите сумму этих различных чисел.

Данное комплексное число $z$ представим в тригонометрической форме. Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем: $z = \cos(0,01\pi) - i \sin(0,01\pi) = \cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi)$. Модуль числа $|z| = \sqrt{\cos^2(-0,01\pi) + \sin^2(-0,01\pi)} = 1$. Аргумент $\arg(z) = -0,01\pi$. Общий член прогрессии $z^n$ находится по формуле Муавра: $z^n = (\cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi))^n = \cos(-0,01n\pi) + i \sin(-0,01n\pi)$. Действительная часть $z^n$ равна $\text{Re}(z^n) = \cos(-0,01n\pi) = \cos(0,01n\pi)$. Мнимая часть $z^n$ равна $\text{Im}(z^n) = \sin(-0,01n\pi) = -\sin(0,01n\pi)$.

а) Укажите наименьшее натуральное значение n, при котором z^n принадлежит второй координатной четверти.

Комплексное число принадлежит второй координатной четверти, если его действительная часть отрицательна, а мнимая — положительна. Для $z^n$ должны выполняться условия: 1. $\text{Re}(z^n) < 0 \implies \cos(0,01n\pi) < 0$. 2. $\text{Im}(z^n) > 0 \implies -\sin(0,01n\pi) > 0 \implies \sin(0,01n\pi) < 0$. Рассмотрим каждое условие отдельно. 1. Неравенство $\cos(\alpha) < 0$ выполняется, когда угол $\alpha$ находится во второй или третьей четверти, то есть $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для целых $k$. В нашем случае $\alpha = 0,01n\pi$: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0,01n\pi < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Делим на $\pi$: $0,5 + 2k < 0,01n < 1,5 + 2k$. Умножаем на 100: $50 + 200k < n < 150 + 200k$. 2. Неравенство $\sin(\alpha) < 0$ выполняется, когда угол $\alpha$ находится в третьей или четвертой четверти, то есть $\pi + 2\pi m < \alpha < 2\pi + 2\pi m$ для целых $m$. Для $\alpha = 0,01n\pi$: $\pi + 2\pi m < 0,01n\pi < 2\pi + 2\pi m$. Делим на $\pi$: $1 + 2m < 0,01n < 2 + 2m$. Умножаем на 100: $100 + 200m < n < 200 + 200m$. Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее обеим системам неравенств. Для этого найдем пересечение полученных интервалов при наименьших неотрицательных целых $k$ и $m$. При $k=0$ и $m=0$: $n \in (50, 150)$ и $n \in (100, 200)$. Пересечением этих интервалов является интервал $(100, 150)$. Наименьшее натуральное число $n$ в этом интервале — это $n=101$.
Ответ: 101.

б) Сколько в этой прогрессии различных чисел?

Различные члены прогрессии $z^n$ определяются различными значениями их аргументов по модулю $2\pi$. Аргумент $z^n$ равен $-0,01n\pi$. Два члена прогрессии $z^n$ и $z^m$ совпадают, если $z^n = z^m$, что для чисел с модулем 1 эквивалентно тому, что их аргументы отличаются на кратное $2\pi$: $-0,01n\pi = -0,01m\pi + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Разделим на $\pi$: $-0,01n = -0,01m + 2k$. $0,01(m-n) = 2k$. $m-n = \frac{2k}{0,01} = 200k$. Это означает, что последовательность значений $z^n$ периодична с периодом 200. То есть $z^{n+200} = z^n$. Следовательно, в прогрессии ровно 200 различных чисел, которые соответствуют значениям $n$ от 1 до 200. Если $1 \le n < m \le 200$, то $0 < m-n < 200$, и $m-n$ не может быть кратно 200. Значит, все эти 200 чисел различны. При $n > 200$ значения начинают повторяться.
Ответ: 200.

в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат?

Число лежит на оси координат, если его действительная или мнимая часть равна нулю. Мы ищем количество таких чисел среди 200 различных членов прогрессии ($n=1, 2, ..., 200$). 1. Число лежит на мнимой оси, если $\text{Re}(z^n) = 0$. $\cos(0,01n\pi) = 0 \implies 0,01n\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целых $k$. $0,01n = 0,5 + k \implies n = 50 + 100k$. Для $n \in [1, 200]$ подходят значения $k=0 \implies n=50$ и $k=1 \implies n=150$. Всего два числа. 2. Число лежит на действительной оси, если $\text{Im}(z^n) = 0$. $-\sin(0,01n\pi) = 0 \implies 0,01n\pi = \pi k$ для целых $k$. $0,01n = k \implies n = 100k$. Для $n \in [1, 200]$ подходят значения $k=1 \implies n=100$ и $k=2 \implies n=200$. Всего два числа. Так как ни одно из этих чисел не может лежать на обеих осях одновременно (поскольку $|z^n|=1$), общее количество чисел на осях координат равно $2+2=4$.
Ответ: 4.

г) Найдите сумму этих различных чисел.

Нужно найти сумму 200 различных членов прогрессии: $S = z^1 + z^2 + ... + z^{200}$. Это сумма первых 200 членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=z$ и знаменателем $q=z$. По формуле суммы конечной геометрической прогрессии: $S_{N} = b_1 \frac{1-q^{N}}{1-q}$. $S_{200} = z \frac{1-z^{200}}{1-z}$. Найдем значение $z^{200}$: $z^{200} = \cos(-0,01 \cdot 200 \pi) + i \sin(-0,01 \cdot 200 \pi) = \cos(-2\pi) + i \sin(-2\pi) = 1 + 0i = 1$. Подставим это значение в формулу суммы: $S_{200} = z \frac{1-1}{1-z} = z \frac{0}{1-z}$. Поскольку $z = \cos(-0,01\pi) + i \sin(-0,01\pi) \ne 1$, знаменатель $1-z$ не равен нулю. Следовательно, сумма равна $0$.
Ответ: 0.