Номер 36.21, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36.21. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число $z_0$, у которого $\vert z_0 \vert = 1$ и $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$.

а) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий первой координатной четверти.

б) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.

в) Изобразите множество $\sqrt[3]{z_0}$.

г) Объясните, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней, расположенных в третьей четверти.

Для решения задачи представим комплексное число $z_0$ в тригонометрической форме. По условию, модуль числа $|z_0| = 1$, а его аргумент $\arg(z_0)$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$. Обозначим $\arg(z_0) = \phi$.

Таким образом, $z_0 = 1 \cdot (\cos\phi + i\sin\phi)$, где $\frac{\pi}{2} < \phi < \pi$. Геометрически это означает, что число $z_0$ лежит на единичной окружности во второй координатной четверти.

Нам нужно найти корни уравнения $z^3 = z_0$, которые являются кубическими корнями из числа $z_0$. Воспользуемся общей формулой для нахождения корней n-ой степени из комплексного числа: $z_k = \sqrt[n]{|z_0|} \left(\cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $|z_0|=1$. Корни уравнения имеют вид: $z_k = \cos\frac{\phi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{3}$, где $k = 0, 1, 2$.

Все три корня также лежат на единичной окружности, так как их модуль равен 1. Найдем, в каких четвертях они расположены, проанализировав их аргументы $\alpha_k = \frac{\phi + 2\pi k}{3}$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \phi < \pi$, то $\frac{\pi}{6} < \frac{\phi}{3} < \frac{\pi}{3}$.

• При $k=0$: $\alpha_0 = \frac{\phi}{3}$. Из неравенства выше следует, что $\frac{\pi}{6} < \alpha_0 < \frac{\pi}{3}$. Так как $0 < \alpha_0 < \frac{\pi}{2}$, этот корень $z_0$ расположен в первой координатной четверти.
• При $k=1$: $\alpha_1 = \frac{\phi + 2\pi}{3} = \frac{\phi}{3} + \frac{2\pi}{3}$. Тогда $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} < \alpha_1 < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}$, что дает $\frac{5\pi}{6} < \alpha_1 < \pi$. Так как $\frac{\pi}{2} < \alpha_1 < \pi$, этот корень $z_1$ расположен во второй координатной четверти.
• При $k=2$: $\alpha_2 = \frac{\phi + 4\pi}{3} = \frac{\phi}{3} + \frac{4\pi}{3}$. Тогда $\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} < \alpha_2 < \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}$, что дает $\frac{9\pi}{6} < \alpha_2 < \frac{5\pi}{3}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \alpha_2 < \frac{5\pi}{3}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \alpha_2 < 2\pi$, этот корень $z_2$ расположен в четвёртой координатной четверти.

а) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий первой координатной четверти.

Как было показано выше, корень, принадлежащий первой координатной четверти, соответствует значению $k=0$. Его аргумент $\alpha_0 = \frac{\arg(z_0)}{3}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$, аргумент этого корня находится в пределах $\frac{\pi}{6} < \alpha_0 < \frac{\pi}{3}$.

Для его изображения нужно:
1. На комплексной плоскости отметить единичную окружность.
2. Выбрать произвольную точку $z_0$ на дуге единичной окружности во второй четверти (угол $\phi$ от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$).
3. Изобразить точку $z_a$ на единичной окружности в первой четверти так, чтобы её аргумент был равен трети аргумента точки $z_0$. Эта точка и будет искомым корнем.

Ответ: Корень, принадлежащий первой координатной четверти, — это число $z_0 = \cos(\frac{\phi}{3}) + i\sin(\frac{\phi}{3})$, где $\phi = \arg(z_0)$. Он расположен на единичной окружности в первой четверти, его аргумент находится в интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$.

б) Изобразите корень уравнения $z^3 = z_0$, принадлежащий четвёртой координатной четверти.

Корень, принадлежащий четвёртой координатной четверти, соответствует значению $k=2$. Его аргумент $\alpha_2 = \frac{\arg(z_0) + 4\pi}{3}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \arg(z_0) < \pi$, аргумент этого корня находится в пределах $\frac{3\pi}{2} < \alpha_2 < \frac{5\pi}{3}$.

Для его изображения нужно:
1. Найти корень $z_a$ из пункта (а).
2. Повернуть вектор, соответствующий $z_a$, на угол $\frac{4\pi}{3}$ против часовой стрелки. Полученная точка $z_b$ на единичной окружности и будет искомым корнем. Она будет расположена в четвертой четверти.

Ответ: Корень, принадлежащий четвёртой координатной четверти, — это число $z_2 = \cos(\frac{\phi+4\pi}{3}) + i\sin(\frac{\phi+4\pi}{3})$, где $\phi = \arg(z_0)$. Он расположен на единичной окружности в четвёртой четверти, его аргумент находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$.

в) Изобразите множество $\sqrt[3]{z_0}$.

Множество $\sqrt[3]{z_0}$ состоит из всех трёх корней уравнения $z^3 = z_0$. Мы определили их расположение: $z_0$ в первой четверти, $z_1$ во второй четверти и $z_2$ в четвертой четверти. Все они лежат на единичной окружности. Аргументы соседних корней отличаются на $\frac{2\pi}{3}$.

Геометрически эти три точки являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в единичную окружность. Одна вершина этого треугольника находится в первой четверти, вторая — во второй, третья — в четвёртой.

Ответ: Множество $\sqrt[3]{z_0}$ — это три точки на единичной окружности, образующие вершины правильного треугольника. Одна вершина лежит в первой координатной четверти, одна — во второй, и одна — в четвёртой.

г) Объясните, почему у уравнения $z^3 = z_0$ нет корней, расположенных в третьей четверти.

Комплексное число находится в третьей координатной четверти, если его аргумент $\theta$ удовлетворяет неравенству $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$.

Мы нашли интервалы, в которых лежат аргументы всех трёх корней уравнения $z^3 = z_0$:

• Аргумент первого корня $\alpha_0$ находится в интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$. Этот интервал принадлежит первой четверти.
• Аргумент второго корня $\alpha_1$ находится в интервале $(\frac{5\pi}{6}, \pi)$. Этот интервал принадлежит второй четверти.
• Аргумент третьего корня $\alpha_2$ находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$. Этот интервал принадлежит четвёртой четверти.

Ни один из этих трёх интервалов не пересекается с интервалом $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, который определяет третью координатную четверть. Максимальное значение аргумента второго корня стремится к $\pi$ (но не достигает его), а минимальное значение аргумента третьего корня стремится к $\frac{3\pi}{2}$ (но не достигает его). Таким образом, ни один из корней не может попасть в третью четверть.

Ответ: Аргументы корней уравнения лежат в интервалах $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$, $(\frac{5\pi}{6}, \pi)$ и $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$. Ни один из этих интервалов не пересекается с интервалом $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, соответствующим третьей координатной четверти, следовательно, в ней нет корней.