Номер 34.24, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34.24. a) $4 - 4\sqrt{3}i;$

б) $1 + \sqrt{3}i;$

В) $-2 - 2\sqrt{3}i;$

Г) $ - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i. $

а) Для представления комплексного числа $z = 4 - 4\sqrt{3}i$ в тригонометрической и показательной форме, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x=4$, мнимая часть $y = -4\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная часть положительна ($x > 0$), а мнимая отрицательна ($y < 0$), угол $\varphi$ находится в IV четверти. Следовательно, главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 8(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = 8e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $8(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$; показательная форма: $8e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

б) Для комплексного числа $z = 1 + \sqrt{3}i$, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x=1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная и мнимая части положительны ($x > 0, y > 0$), угол $\varphi$ находится в I четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$; показательная форма: $2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

в) Для комплексного числа $z = -2 - 2\sqrt{3}i$, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x=-2$, мнимая часть $y = -2\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная и мнимая части отрицательны ($x < 0, y < 0$), угол $\varphi$ находится в III четверти. Следовательно, главный аргумент $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 4(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = 4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $4(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$; показательная форма: $4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

г) Для комплексного числа $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Действительная часть $x = -\frac{1}{2}$, мнимая часть $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Модуль числа:
$r = |z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы:
$\left\{\begin{array}{l}\cos\varphi = \frac{x}{r} = -\frac{1}{2} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
Так как действительная часть отрицательна ($x < 0$), а мнимая положительна ($y > 0$), угол $\varphi$ находится во II четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})$.
Показательная форма: $z = re^{i\varphi} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Ответ: Тригонометрическая форма: $\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})$; показательная форма: $e^{i\frac{2\pi}{3}}$.