Страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

32.24. а) $\frac{1}{i}$;

б) $\frac{1-i}{i}$;

в) $\frac{1-i}{1+i}$;

г) $\frac{1+i}{1-i}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения, нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $i$.

$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2}$

По определению мнимой единицы, $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:

$\frac{i}{-1} = -i$

Ответ: $-i$

б) Чтобы вычислить значение, умножим числитель и знаменатель дроби на $i$.

$\frac{1 - i}{i} = \frac{(1 - i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{1 \cdot i - i \cdot i}{i^2} = \frac{i - i^2}{i^2}$

Подставляем значение $i^2 = -1$:

$\frac{i - (-1)}{-1} = \frac{i + 1}{-1} = -1 - i$

Ответ: $-1 - i$

в) Для деления комплексных чисел, нужно умножить числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для числа $z = 1 + i$ сопряженным является $\bar{z} = 1 - i$.

$\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2}$

В числителе используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В знаменателе используем свойство $i^2 = -1$.

$\frac{1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i$

Ответ: $-i$

г) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Для числа $z = 1 - i$ сопряженным является $\bar{z} = 1 + i$.

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 - i^2}$

В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В знаменателе используем свойство $i^2 = -1$.

$\frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$

Ответ: $i$

32.25. a) $i^2 + i^{-2};$

б) $i^3 + i^{-3};$

В) $i^3 + i^{-5};$

Г) $i^{-3} + i^{-5}.$

Для решения этих задач необходимо знать свойства мнимой единицы $i$, где $i = \sqrt{-1}$.

Ключевые степени $i$:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = -i$
• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Степени $i$ повторяются циклически с периодом 4. Для отрицательных степеней используется правило $i^{-n} = \frac{1}{i^n}$.

а) $i^2 + i^{-2}$

Сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.

По определению мнимой единицы, $i^2 = -1$.

Для второго слагаемого используем свойство отрицательной степени:

$i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Теперь сложим полученные значения:

$i^2 + i^{-2} = -1 + (-1) = -2$.

Ответ: $-2$

б) $i^3 + i^{-3}$

Вычислим первое слагаемое:

$i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Вычислим второе слагаемое:

$i^{-3} = \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = i$.

Сложим полученные значения:

$i^3 + i^{-3} = -i + i = 0$.

Ответ: $0$

в) $i^3 + i^{-5}$

Значение первого слагаемого нам уже известно из предыдущего пункта: $i^3 = -i$.

Вычислим второе слагаемое, $i^{-5}$.

$i^{-5} = \frac{1}{i^5}$.

Упростим знаменатель, используя цикличность степеней $i$:

$i^5 = i^{4+1} = i^4 \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$.

Следовательно:

$i^{-5} = \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.

Теперь сложим оба значения:

$i^3 + i^{-5} = -i + (-i) = -2i$.

Ответ: $-2i$

г) $i^{-3} + i^{-5}$

Значения обоих слагаемых были найдены в предыдущих пунктах.

Из пункта б) мы знаем, что $i^{-3} = i$.

Из пункта в) мы знаем, что $i^{-5} = -i$.

Сложим эти значения:

$i^{-3} + i^{-5} = i + (-i) = 0$.

Ответ: $0$

32.26. a) $((i : (1 + i))) : (1 + 2i)) : (1 + 3i);$

б) $i : (((1 + i) : (1 + 2i) : (1 + 3i))).$

а) $((i : (1 + i)) : (1 + 2i)) : (1 + 3i)$

Поскольку операция деления не ассоциативна, порядок действий определяется скобками. В данном случае скобки указывают на последовательное деление слева направо. Такое выражение можно записать в виде одной дроби:

$ \frac{i}{(1+i)(1+2i)(1+3i)} $

Вычислим произведение в знаменателе по шагам:

1. Сначала перемножим первые два сомножителя:
$ (1+i)(1+2i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2i + i \cdot 1 + i \cdot 2i = 1 + 2i + i + 2i^2 = 1 + 3i - 2 = -1 + 3i $

2. Теперь результат умножим на третий сомножитель:
$ (-1+3i)(1+3i) $
Здесь можно применить формулу разности квадратов, представив выражение как $(3i-1)(3i+1)$:
$ (3i)^2 - 1^2 = 9i^2 - 1 = 9(-1) - 1 = -9 - 1 = -10 $

Теперь подставим полученное значение знаменателя в исходное выражение:

$ \frac{i}{-10} = -\frac{1}{10}i = -0.1i $

Ответ: $-0.1i$.

б) $i : ((1 + i) : ((1 + 2i) : (1 + 3i)))$

В этом выражении порядок действий определяется вложенными скобками, поэтому вычисления начинаем с самой внутренней пары скобок.

1. Вычислим внутреннее частное $(1+2i) : (1+3i)$. Для этого домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1-3i)$:

$ \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1 - 3i + 2i - 6i^2}{1^2 - (3i)^2} = \frac{1 - i - 6(-1)}{1 - 9i^2} = \frac{1-i+6}{1+9} = \frac{7-i}{10} $

2. Теперь вычислим следующее частное $(1+i) : \frac{7-i}{10}$. Деление на дробь равносильно умножению на перевернутую дробь:

$ (1+i) : \frac{7-i}{10} = (1+i) \cdot \frac{10}{7-i} = \frac{10(1+i)}{7-i} $

Снова домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(7+i)$:

$ \frac{10(1+i)(7+i)}{(7-i)(7+i)} = \frac{10(7+i+7i+i^2)}{7^2 - i^2} = \frac{10(7+8i-1)}{49-(-1)} = \frac{10(6+8i)}{50} = \frac{6+8i}{5} $

3. Наконец, выполним последнее деление $i : \frac{6+8i}{5}$:

$ i : \frac{6+8i}{5} = i \cdot \frac{5}{6+8i} = \frac{5i}{6+8i} $

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число $(6-8i)$:

$ \frac{5i(6-8i)}{(6+8i)(6-8i)} = \frac{30i - 40i^2}{6^2 - (8i)^2} = \frac{30i - 40(-1)}{36 - 64i^2} = \frac{40+30i}{36+64} = \frac{40+30i}{100} $

Разделим действительную и мнимую части на 100:

$ \frac{40}{100} + \frac{30}{100}i = \frac{4}{10} + \frac{3}{10}i = 0.4 + 0.3i $

Ответ: $0.4 + 0.3i$.

32.27. Решите уравнение:

a) $iz = (1 - i);$

б) $(1 + i)z = (1 - i);$

в) $(1 + i)z = i;$

г) $(1 + i)^2 z = (1 - i)^3.$

а)

Дано уравнение $iz = (1 - i)$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $i$:

$z = \frac{1 - i}{i}$

Для выполнения деления на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю. В данном случае можно умножить на $i$, так как $i \cdot i = -1$, что делает знаменатель действительным числом.

$z = \frac{(1 - i) \cdot i}{i \cdot i} = \frac{1 \cdot i - i \cdot i}{i^2}$

Зная, что $i^2 = -1$, получаем:

$z = \frac{i - (-1)}{-1} = \frac{i + 1}{-1} = -1 - i$

Ответ: $z = -1 - i$.

б)

Дано уравнение $(1 + i)z = (1 - i)$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $(1 + i)$:

$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю $(1 + i)$, то есть на $(1 - i)$:

$z = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 - i^2}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Знаменатель: $1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.

Подставим полученные значения:

$z = \frac{-2i}{2} = -i$

Ответ: $z = -i$.

в)

Дано уравнение $(1 + i)z = i$.

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $(1 + i)$:

$z = \frac{i}{1 + i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$:

$z = \frac{i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{i - i^2}{1^2 - i^2}$

Подставим $i^2 = -1$:

$z = \frac{i - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

Ответ: $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

г)

Дано уравнение $(1 + i)^2 z = (1 - i)^3$.

Сначала упростим выражения $(1 + i)^2$ и $(1 - i)^3$.

$(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

$(1 - i)^3 = (1 - i)^2 \cdot (1 - i) = (1^2 - 2i + i^2) \cdot (1 - i) = (1 - 2i - 1) \cdot (1 - i) = (-2i) \cdot (1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$(2i)z = -2 - 2i$

Чтобы найти $z$, разделим обе части на $2i$:

$z = \frac{-2 - 2i}{2i} = \frac{2(-1 - i)}{2i} = \frac{-1 - i}{i}$

Умножим числитель и знаменатель на $i$:

$z = \frac{(-1 - i)i}{i \cdot i} = \frac{-i - i^2}{i^2} = \frac{-i - (-1)}{-1} = \frac{1 - i}{-1} = -1 + i$

Ответ: $z = -1 + i$.

32.28. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно

равенство $\frac{z_1}{z_2} = a\frac{z_2}{z_1} + bz_2$, если:

a) $z_1 = i, z_2 = 2;$

б) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i;$

В) $z_1 = 1 + 2i, z_2 = 1 - 2i;$

Г) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 + 2i.$

Для нахождения действительных чисел $a$ и $b$ подставим данные значения комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ в равенство $\frac{z_1}{z_2} = a\frac{z_2}{z_1} + bz_2$. Затем приравняем действительные и мнимые части получившегося уравнения. Это даст систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$.

а) $z_1 = i, z_2 = 2$

Подставляем значения в равенство:

$\frac{i}{2} = a\frac{2}{i} + b \cdot 2$

Вычислим дроби:

$\frac{i}{2} = \frac{1}{2}i$

$\frac{2}{i} = \frac{2 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-2i}{-i^2} = \frac{-2i}{1} = -2i$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}i = a(-2i) + 2b$

$0 + \frac{1}{2}i = 2b - 2ai$

Приравниваем действительные (Re) и мнимые (Im) части:

$\begin{cases} \text{Re}: & 0 = 2b \\ \text{Im}: & \frac{1}{2} = -2a \end{cases}$

Из системы находим: $b = 0$ и $a = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $a = -\frac{1}{4}, b = 0$.

б) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i$

Подставляем значения в равенство. Сначала вычислим дроби:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$

Уравнение принимает вид:

$i = a(-i) + b(1-i)$

$0 + 1 \cdot i = b - ai - bi = b - (a+b)i$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} \text{Re}: & 0 = b \\ \text{Im}: & 1 = -(a+b) \end{cases}$

Из первого уравнения $b=0$. Подставляя во второе, получаем $1 = -a$, откуда $a=-1$.

Ответ: $a = -1, b = 0$.

в) $z_1 = 1 + 2i, z_2 = 1 - 2i$

Вычислим дроби:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+2i}{1-2i} = \frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1+4i+4i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1+4i-4}{1+4} = \frac{-3+4i}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1-2i}{1+2i} = \frac{(1-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-4i+4i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1-4i-4}{1+4} = \frac{-3-4i}{5} = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

Уравнение принимает вид:

$-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i = a(-\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i) + b(1-2i)$

$-\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i = (-\frac{3a}{5} + b) + i(-\frac{4a}{5} - 2b)$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} \text{Re}: & -\frac{3}{5} = -\frac{3a}{5} + b \\ \text{Im}: & \frac{4}{5} = -\frac{4a}{5} - 2b \end{cases} \implies \begin{cases} -3 = -3a + 5b \\ 4 = -4a - 10b \end{cases} \implies \begin{cases} -3 = -3a + 5b \\ 2 = -2a - 5b \end{cases}$

Сложим два уравнения системы: $(-3)+2 = (-3a+5b) + (-2a-5b) \implies -1 = -5a \implies a = \frac{1}{5}$.

Подставим $a$ во второе уравнение: $2 = -2(\frac{1}{5}) - 5b \implies 2 = -\frac{2}{5} - 5b \implies 5b = -\frac{2}{5} - 2 = -\frac{12}{5} \implies b = -\frac{12}{25}$.

Ответ: $a = \frac{1}{5}, b = -\frac{12}{25}$.

г) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 + 2i$

Вычислим дроби:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{1+2i} = \frac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-2i+i-2i^2}{1^2 - (2i)^2} = \frac{1-i+2}{1+4} = \frac{3-i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1+2i}{1+i} = \frac{(1+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i+2i-2i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+i+2}{1+1} = \frac{3+i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$

Уравнение принимает вид:

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i = a(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i) + b(1+2i)$

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i = (\frac{3a}{2} + b) + i(\frac{a}{2} + 2b)$

Приравниваем действительные и мнимые части:

$\begin{cases} \text{Re}: & \frac{3}{5} = \frac{3a}{2} + b \\ \text{Im}: & -\frac{1}{5} = \frac{a}{2} + 2b \end{cases} \implies \begin{cases} 6 = 15a + 10b \\ -2 = 5a + 20b \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $5a = -2 - 20b$. Подставим в первое уравнение, умноженное на 3: $6 = 3(5a) + 10b \implies 6 = 3(-2-20b) + 10b$.

$6 = -6 - 60b + 10b \implies 12 = -50b \implies b = -\frac{12}{50} = -\frac{6}{25}$.

Теперь найдем $a$: $5a = -2 - 20(-\frac{6}{25}) = -2 + \frac{120}{25} = -2 + \frac{24}{5} = \frac{-10+24}{5} = \frac{14}{5} \implies a = \frac{14}{25}$.

Ответ: $a = \frac{14}{25}, b = -\frac{6}{25}$.

32.29. Найдите значение функции $w = \frac{z^2 + 1}{z - i}$, если:

а) $z = 1 + i$;

б) $z = 1 - i$;

в) $z = 2i$;

г) $z = 2 + i$.

а) Подставляем значение $z = 1 + i$ в заданную функцию $w = \frac{z^2 + 1}{z - i}$:
$w = \frac{(1+i)^2 + 1}{(1+i) - i}$
Вычислим значение числителя: $(1+i)^2 + 1 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2) + 1 = (1 + 2i - 1) + 1 = 2i + 1$.
Вычислим значение знаменателя: $(1+i) - i = 1 + i - i = 1$.
Таким образом, значение функции: $w = \frac{1 + 2i}{1} = 1 + 2i$.
Ответ: $1 + 2i$.

б) Подставляем значение $z = 1 - i$ в функцию:
$w = \frac{(1-i)^2 + 1}{(1-i) - i}$
Вычислим числитель: $(1-i)^2 + 1 = (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2) + 1 = (1 - 2i - 1) + 1 = -2i + 1 = 1 - 2i$.
Вычислим знаменатель: $(1-i) - i = 1 - 2i$.
Таким образом, $w = \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Подставляем значение $z = 2i$ в функцию:
$w = \frac{(2i)^2 + 1}{2i - i}$
Вычислим числитель: $(2i)^2 + 1 = 4i^2 + 1 = 4(-1) + 1 = -4 + 1 = -3$.
Вычислим знаменатель: $2i - i = i$.
Получаем $w = \frac{-3}{i}$. Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:
$w = \frac{-3 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{-3i}{i^2} = \frac{-3i}{-1} = 3i$.
Ответ: $3i$.

г) Подставляем значение $z = 2 + i$ в функцию:
$w = \frac{(2+i)^2 + 1}{(2+i) - i}$
Вычислим числитель: $(2+i)^2 + 1 = (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2) + 1 = (4 + 4i - 1) + 1 = 3 + 4i + 1 = 4 + 4i$.
Вычислим знаменатель: $(2+i) - i = 2$.
Таким образом, $w = \frac{4 + 4i}{2} = \frac{4(1 + i)}{2} = 2(1 + i) = 2 + 2i$.
Ответ: $2 + 2i$.

32.30. a) Докажите, что число $(b + i\sqrt{a})^3 + (b - i\sqrt{a})^3$ при любых действительных значениях $a \ge 0$ и $b$ является действительным.

б) Вычислите $(2 + i\sqrt{5})^3 + (2 - i\sqrt{5})^3$.

а) Для доказательства раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона для куба суммы и разности: $(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3$. Пусть $x=b$ и $y=i\sqrt{a}$. Тогда $(b + i\sqrt{a})^3 = b^3 + 3b^2(i\sqrt{a}) + 3b(i\sqrt{a})^2 + (i\sqrt{a})^3$, а $(b - i\sqrt{a})^3 = b^3 - 3b^2(i\sqrt{a}) + 3b(i\sqrt{a})^2 - (i\sqrt{a})^3$. Сложив эти два выражения, получим: $(b + i\sqrt{a})^3 + (b - i\sqrt{a})^3 = 2b^3 + 6b(i\sqrt{a})^2$. Слагаемые с мнимой единицей ($3b^2(i\sqrt{a})$ и $(i\sqrt{a})^3$) взаимно уничтожаются. Упростим оставшееся выражение, зная что $i^2 = -1$: $2b^3 + 6b(i^2(\sqrt{a})^2) = 2b^3 + 6b(-1 \cdot a) = 2b^3 - 6ab$. Так как $a$ и $b$ являются действительными числами по условию, то и результат $2b^3 - 6ab$ является действительным числом. Ответ: Доказано.

б) Данное выражение является частным случаем выражения из пункта а), где $b=2$ и $a=5$. Воспользуемся формулой, полученной в пункте а): $(b + i\sqrt{a})^3 + (b - i\sqrt{a})^3 = 2b^3 - 6ab$. Подставим значения $b=2$ и $a=5$ в эту формулу: $2 \cdot 2^3 - 6 \cdot 5 \cdot 2 = 2 \cdot 8 - 60 = 16 - 60 = -44$. Ответ: -44.

32.31. При каких действительных значениях a число

$z = (2 - ai)^3 - (3 - ai)^2 + 5 + a(1 - a^2i):$

a) является действительным;

б) является чисто мнимым?

Для решения задачи сначала упростим данное выражение для комплексного числа $z$.

$z = (2 - ai)^3 - (3 - ai)^2 + 5 + a(1 - a^2i)$

Раскроем скобки для каждого слагаемого, используя формулы сокращенного умножения и свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$):

1. $(2 - ai)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (ai) + 3 \cdot 2 \cdot (ai)^2 - (ai)^3 = 8 - 12ai + 6a^2i^2 - a^3i^3 = 8 - 12ai - 6a^2 + a^3i = (8 - 6a^2) + i(a^3 - 12a)$.

2. $(3 - ai)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (ai) + (ai)^2 = 9 - 6ai + a^2i^2 = 9 - 6ai - a^2 = (9 - a^2) - 6ai$.

3. $a(1 - a^2i) = a - a^3i$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу для $z$ и сгруппируем действительную ($Re(z)$) и мнимую ($Im(z)$) части:

$z = [(8 - 6a^2) + i(a^3 - 12a)] - [(9 - a^2) - 6ai] + 5 + (a - a^3i)$

$z = (8 - 6a^2 - 9 + a^2 + 5 + a) + i(a^3 - 12a - (-6a) - a^3)$

Выделим действительную часть:

$Re(z) = 8 - 9 + 5 - 6a^2 + a^2 + a = -5a^2 + a + 4$.

Выделим мнимую часть:

$Im(z) = a^3 - 12a + 6a - a^3 = -6a$.

Таким образом, комплексное число $z$ в алгебраической форме имеет вид:

$z = (-5a^2 + a + 4) - 6ai$.

Теперь рассмотрим условия задачи.

а) является действительным;

Число $z$ является действительным, если его мнимая часть равна нулю, то есть $Im(z) = 0$.

$-6a = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 0$.

Ответ: $a = 0$.

б) является чисто мнимым?

Число $z$ является чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю, а мнимая часть не равна нулю. То есть $Re(z) = 0$ и $Im(z) \ne 0$.

Приравняем действительную часть к нулю:

$-5a^2 + a + 4 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$5a^2 - a - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.

Находим корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.

Теперь необходимо проверить, что при найденных значениях $a$ мнимая часть не обращается в ноль.

$Im(z) = -6a$.

При $a = 1$: $Im(z) = -6(1) = -6 \ne 0$.

При $a = -4/5$: $Im(z) = -6(-4/5) = 24/5 \ne 0$.

Оба значения $a$ удовлетворяют условию, так как мнимая часть при этих значениях не равна нулю.

Ответ: $a=1$; $a=-4/5$.

32.32. Для комплексного числа $z$ найдите сопряжённое число $\bar{z}$

и вычислите произведение $z\bar{z}$ и частное $\frac{\bar{z}}{z}$:

а) $z = i;$

б) $z = -i;$

в) $z = 3 - 7i;$

г) $z = -5 - 6i.$

Для решения задачи воспользуемся определениями сопряженного комплексного числа, произведения и частного комплексных чисел. Для комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа, сопряженное число равно $\bar{z} = a - bi$.

а) $z = i$

Запишем число $z$ в алгебраической форме: $z = 0 + 1 \cdot i$.

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Для этого меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 0 - 1 \cdot i = -i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{-i}{i} = -1$.

Ответ: $\bar{z} = -i$; $z\bar{z} = 1$; $\frac{\bar{z}}{z} = -1$.

б) $z = -i$

Запишем число $z$ в алгебраической форме: $z = 0 - 1 \cdot i$.

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 0 + 1 \cdot i = i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = (-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{i}{-i} = -1$.

Ответ: $\bar{z} = i$; $z\bar{z} = 1$; $\frac{\bar{z}}{z} = -1$.

в) $z = 3 - 7i$

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = 3 + 7i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$z\bar{z} = (3 - 7i)(3 + 7i) = 3^2 - (7i)^2 = 9 - 49i^2 = 9 - 49(-1) = 9 + 49 = 58$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$. Для этого умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{3 + 7i}{3 - 7i} = \frac{(3 + 7i)(3 + 7i)}{(3 - 7i)(3 + 7i)} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 7i + (7i)^2}{3^2 + 7^2} = \frac{9 + 42i + 49i^2}{9 + 49} = \frac{9 + 42i - 49}{58} = \frac{-40 + 42i}{58} = -\frac{40}{58} + \frac{42}{58}i = -\frac{20}{29} + \frac{21}{29}i$.

Ответ: $\bar{z} = 3 + 7i$; $z\bar{z} = 58$; $\frac{\bar{z}}{z} = -\frac{20}{29} + \frac{21}{29}i$.

г) $z = -5 - 6i$

1. Находим сопряженное число $\bar{z}$. Меняем знак у мнимой части:

$\bar{z} = -5 + 6i$.

2. Вычисляем произведение $z\bar{z}$:

$z\bar{z} = (-5 - 6i)(-5 + 6i) = (-5)^2 - (6i)^2 = 25 - 36i^2 = 25 - 36(-1) = 25 + 36 = 61$.

3. Вычисляем частное $\frac{\bar{z}}{z}$. Умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{-5 + 6i}{-5 - 6i} = \frac{(-5 + 6i)(-5 + 6i)}{(-5 - 6i)(-5 + 6i)} = \frac{(-5)^2 + 2(-5)(6i) + (6i)^2}{(-5)^2 + 6^2} = \frac{25 - 60i + 36i^2}{25 + 36} = \frac{25 - 60i - 36}{61} = \frac{-11 - 60i}{61} = -\frac{11}{61} - \frac{60}{61}i$.

Ответ: $\bar{z} = -5 + 6i$; $z\bar{z} = 61$; $\frac{\bar{z}}{z} = -\frac{11}{61} - \frac{60}{61}i$.