Номер 32.31, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.31. При каких действительных значениях a число

$z = (2 - ai)^3 - (3 - ai)^2 + 5 + a(1 - a^2i):$

a) является действительным;

б) является чисто мнимым?

Для решения задачи сначала упростим данное выражение для комплексного числа $z$.

$z = (2 - ai)^3 - (3 - ai)^2 + 5 + a(1 - a^2i)$

Раскроем скобки для каждого слагаемого, используя формулы сокращенного умножения и свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$):

1. $(2 - ai)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (ai) + 3 \cdot 2 \cdot (ai)^2 - (ai)^3 = 8 - 12ai + 6a^2i^2 - a^3i^3 = 8 - 12ai - 6a^2 + a^3i = (8 - 6a^2) + i(a^3 - 12a)$.

2. $(3 - ai)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (ai) + (ai)^2 = 9 - 6ai + a^2i^2 = 9 - 6ai - a^2 = (9 - a^2) - 6ai$.

3. $a(1 - a^2i) = a - a^3i$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу для $z$ и сгруппируем действительную ($Re(z)$) и мнимую ($Im(z)$) части:

$z = [(8 - 6a^2) + i(a^3 - 12a)] - [(9 - a^2) - 6ai] + 5 + (a - a^3i)$

$z = (8 - 6a^2 - 9 + a^2 + 5 + a) + i(a^3 - 12a - (-6a) - a^3)$

Выделим действительную часть:

$Re(z) = 8 - 9 + 5 - 6a^2 + a^2 + a = -5a^2 + a + 4$.

Выделим мнимую часть:

$Im(z) = a^3 - 12a + 6a - a^3 = -6a$.

Таким образом, комплексное число $z$ в алгебраической форме имеет вид:

$z = (-5a^2 + a + 4) - 6ai$.

Теперь рассмотрим условия задачи.

а) является действительным;

Число $z$ является действительным, если его мнимая часть равна нулю, то есть $Im(z) = 0$.

$-6a = 0$

Отсюда находим значение $a$:

$a = 0$.

Ответ: $a = 0$.

б) является чисто мнимым?

Число $z$ является чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю, а мнимая часть не равна нулю. То есть $Re(z) = 0$ и $Im(z) \ne 0$.

Приравняем действительную часть к нулю:

$-5a^2 + a + 4 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$5a^2 - a - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.

Находим корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.

Теперь необходимо проверить, что при найденных значениях $a$ мнимая часть не обращается в ноль.

$Im(z) = -6a$.

При $a = 1$: $Im(z) = -6(1) = -6 \ne 0$.

При $a = -4/5$: $Im(z) = -6(-4/5) = 24/5 \ne 0$.

Оба значения $a$ удовлетворяют условию, так как мнимая часть при этих значениях не равна нулю.

Ответ: $a=1$; $a=-4/5$.