Номер 32.33, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.33. По заданному сопряжённому числу $\bar{z}$ восстановите комплексное число $z$ и вычислите произведение $z\bar{z}$ и частное $\frac{z}{\bar{z}}$:

а) $\bar{z} = 2i;$

б) $\bar{z} = -3i;$

в) $\bar{z} = 1 - i;$

г) $\bar{z} = -1 + 3i.$

Для решения задачи воспользуемся следующими определениями. Если комплексное число $z$ имеет вид $z = a + bi$, то сопряженное ему число $\bar{z}$ равно $a - bi$. Чтобы восстановить исходное число $z$ по его сопряженному $\bar{z}$, нужно взять сопряженное к $\bar{z}$, то есть $z = \bar{\bar{z}} = a + bi$.

Произведение комплексного числа на сопряженное ему равно $z\bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2$.

Частное двух комплексных чисел вычисляется путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

а)

Дано сопряженное число $\bar{z} = 2i$. В алгебраической форме это $0 + 2i$.

1. Восстановим комплексное число $z$. Для этого изменим знак у мнимой части $\bar{z}$:
$z = 0 - 2i = -2i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (-2i)(2i) = -4i^2 = -4(-1) = 4$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{-2i}{2i} = -1$.

Ответ: $z = -2i$; $z\bar{z} = 4$; $\frac{z}{\bar{z}} = -1$.

б)

Дано сопряженное число $\bar{z} = -3i$. В алгебраической форме это $0 - 3i$.

1. Восстановим комплексное число $z$:
$z = 0 + 3i = 3i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (3i)(-3i) = -9i^2 = -9(-1) = 9$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{3i}{-3i} = -1$.

Ответ: $z = 3i$; $z\bar{z} = 9$; $\frac{z}{\bar{z}} = -1$.

в)

Дано сопряженное число $\bar{z} = 1 - i$.

1. Восстановим комплексное число $z$:
$z = 1 + i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i$.

Ответ: $z = 1+i$; $z\bar{z} = 2$; $\frac{z}{\bar{z}} = i$.

г)

Дано сопряженное число $\bar{z} = -1 + 3i$.

1. Восстановим комплексное число $z$:
$z = -1 - 3i$.

2. Вычислим произведение $z\bar{z}$:
$z\bar{z} = (-1 - 3i)(-1 + 3i) = (-1)^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10$.

3. Вычислим частное $\frac{z}{\bar{z}}$:
$\frac{z}{\bar{z}} = \frac{-1 - 3i}{-1 + 3i} = \frac{(-1 - 3i)(-1 - 3i)}{(-1 + 3i)(-1 - 3i)} = \frac{(-1)^2 + 2(-1)(-3i) + (3i)^2}{(-1)^2 - (3i)^2} = \frac{1 + 6i + 9i^2}{1 - 9i^2} = \frac{1 + 6i - 9}{1+9} = \frac{-8 + 6i}{10} = -\frac{8}{10} + \frac{6}{10}i = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

Ответ: $z = -1 - 3i$; $z\bar{z} = 10$; $\frac{z}{\bar{z}} = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.