Номер 32.37, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.37. Среди корней уравнения $z^2 + (\bar{z})^2 = 8$ укажите все корни:

а) с нулевой мнимой частью;

б) с мнимой частью, равной 1;

в) у которых действительная часть равна мнимой части;

г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.

Для решения задачи представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ – действительная часть, а $y$ – мнимая часть. Комплексно-сопряженное число будет $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение $z^2 + (\bar{z})^2 = 8$:

$(x + iy)^2 + (x - iy)^2 = 8$

Раскроем квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2ixy + (iy)^2) + (x^2 - 2ixy + (iy)^2) = 8$

Учитывая, что $i^2 = -1$, получим:

$(x^2 + 2ixy - y^2) + (x^2 - 2ixy - y^2) = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2y^2 = 8$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - y^2 = 4$

Это уравнение связывает действительную ($x$) и мнимую ($y$) части любого корня исходного уравнения. Теперь, используя это соотношение, найдем корни для каждого из заданных условий.

а) с нулевой мнимой частью;

Условие "нулевая мнимая часть" означает, что $y = 0$. Подставим это значение в наше уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$x^2 - 0^2 = 4$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, получаем два корня: $z_1 = 2 + 0i = 2$ и $z_2 = -2 + 0i = -2$.

Ответ: $z = 2$, $z = -2$.

б) с мнимой частью, равной 1;

В этом случае мнимая часть $y = 1$. Подставим это значение в уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$x^2 - 1^2 = 4$

$x^2 - 1 = 4$

$x^2 = 5$

Отсюда $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Получаем два корня: $z_1 = \sqrt{5} + i$ и $z_2 = -\sqrt{5} + i$.

Ответ: $z = \sqrt{5} + i$, $z = -\sqrt{5} + i$.

в) у которых действительная часть равна мнимой части;

Это условие означает, что $x = y$. Подставим это соотношение в уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$x^2 - x^2 = 4$

$0 = 4$

Получили неверное равенство. Это означает, что корней, удовлетворяющих данному условию, не существует.

Ответ: таких корней нет.

г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.

По условию, $x = 3y$ и $y > 0$. Подставим $x = 3y$ в уравнение $x^2 - y^2 = 4$:

$(3y)^2 - y^2 = 4$

$9y^2 - y^2 = 4$

$8y^2 = 4$

$y^2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Извлекая корень, получаем $y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как по условию мнимая часть положительна ($y > 0$), выбираем значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем соответствующую действительную часть $x$:

$x = 3y = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомый корень равен $z = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.