Номер 33.1, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.1. a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 + 3i$, $z_3 = -2 + 5i$, $z_4 = -9 + i$, $z_5 = -3 - 2i$.

б) Укажите те точки, которые лежат левее оси ординат. Что можно сказать о знаке действительной части каждой из таких точек?

в) Укажите те точки, которые лежат выше оси абсцисс. Что можно сказать о знаке мнимой части каждой из таких точек?

г) Соедините данные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения замкнутой ломаной с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.

а) Каждому комплексному числу $z = x + yi$ соответствует точка $(x, y)$ на координатной (комплексной) плоскости, где ось абсцисс является действительной осью ($\text{Re}$), а ось ординат — мнимой осью ($\text{Im}$).

Чтобы отметить на координатной плоскости точки, соответствующие данным комплексным числам, определим их координаты:

• Для $z_1 = 1 + 2i$ точка имеет координаты $(1, 2)$.
• Для $z_2 = 2 + 3i$ точка имеет координаты $(2, 3)$.
• Для $z_3 = -2 + 5i$ точка имеет координаты $(-2, 5)$.
• Для $z_4 = -9 + i$ точка имеет координаты $(-9, 1)$.
• Для $z_5 = -3 - 2i$ точка имеет координаты $(-3, -2)$.

Отметим эти пять точек на плоскости.

б) Точки лежат левее оси ординат (оси $Im$), если их первая координата (абсцисса) отрицательна. Абсцисса точки соответствует действительной части комплексного числа ($\text{Re}(z)$). Проверим действительные части данных чисел:

• $\text{Re}(z_1) = 1$ (положительная)
• $\text{Re}(z_2) = 2$ (положительная)
• $\text{Re}(z_3) = -2$ (отрицательная)
• $\text{Re}(z_4) = -9$ (отрицательная)
• $\text{Re}(z_5) = -3$ (отрицательная)

Следовательно, левее оси ординат лежат точки, соответствующие числам $z_3$, $z_4$ и $z_5$. Действительная часть каждой из этих точек отрицательна.

Ответ: Левее оси ординат лежат точки $z_3 = -2 + 5i$, $z_4 = -9 + i$, $z_5 = -3 - 2i$. Действительная часть каждой из таких точек имеет отрицательный знак.

в) Точки лежат выше оси абсцисс (оси $Re$), если их вторая координата (ордината) положительна. Ордината точки соответствует мнимой части комплексного числа ($\text{Im}(z)$). Проверим мнимые части данных чисел:

• $\text{Im}(z_1) = 2$ (положительная)
• $\text{Im}(z_2) = 3$ (положительная)
• $\text{Im}(z_3) = 5$ (положительная)
• $\text{Im}(z_4) = 1$ (положительная)
• $\text{Im}(z_5) = -2$ (отрицательная)

Следовательно, выше оси абсцисс лежат точки, соответствующие числам $z_1$, $z_2$, $z_3$ и $z_4$. Мнимая часть каждой из этих точек положительна.

Ответ: Выше оси абсцисс лежат точки $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 + 3i$, $z_3 = -2 + 5i$, $z_4 = -9 + i$. Мнимая часть каждой из таких точек имеет положительный знак.

г) Соединим последовательно точки $P_1(1, 2)$, $P_2(2, 3)$, $P_3(-2, 5)$, $P_4(-9, 1)$, $P_5(-3, -2)$ и $P_1(1, 2)$ отрезками, чтобы получить замкнутую ломаную. Найдем точки пересечения этой ломаной с осями координат.

1. Отрезок $P_2P_3$. Точка $P_2$ имеет положительную абсциссу ($x=2$), а точка $P_3$ — отрицательную ($x=-2$). Значит, отрезок пересекает ось ординат ($x=0$). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P_2(2, 3)$ и $P_3(-2, 5)$:
$\frac{x - 2}{-2 - 2} = \frac{y - 3}{5 - 3} \Rightarrow \frac{x - 2}{-4} = \frac{y - 3}{2} \Rightarrow x - 2 = -2(y - 3) \Rightarrow x + 2y - 8 = 0$.
При $x=0$: $2y - 8 = 0 \Rightarrow y = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$. Соответствующее комплексное число: $4i$.

2. Отрезок $P_4P_5$. Точка $P_4$ имеет положительную ординату ($y=1$), а точка $P_5$ — отрицательную ($y=-2$). Значит, отрезок пересекает ось абсцисс ($y=0$). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P_4(-9, 1)$ и $P_5(-3, -2)$:
$\frac{x - (-9)}{-3 - (-9)} = \frac{y - 1}{-2 - 1} \Rightarrow \frac{x + 9}{6} = \frac{y - 1}{-3} \Rightarrow -(x + 9) = 2(y - 1) \Rightarrow x + 2y + 7 = 0$.
При $y=0$: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Точка пересечения $(-7, 0)$. Соответствующее комплексное число: $-7$.

3. Отрезок $P_5P_1$. У точки $P_5$ абсцисса и ордината отрицательны ($x=-3, y=-2$), а у точки $P_1$ — положительны ($x=1, y=2$). Значит, отрезок пересекает обе оси координат. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P_5(-3, -2)$ и $P_1(1, 2)$:
$\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - (-2)}{2 - (-2)} \Rightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y + 2}{4} \Rightarrow y = x + 1$.
Пересечение с осью ординат ($x=0$): $y = 0 + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$. Соответствующее комплексное число: $i$.
Пересечение с осью абсцисс ($y=0$): $0 = x + 1 \Rightarrow x = -1$. Точка пересечения $(-1, 0)$. Соответствующее комплексное число: $-1$.

Отрезки $P_1P_2$ и $P_3P_4$ не пересекают оси координат, так как координаты их концов имеют одинаковые знаки (для $P_1P_2$ все положительные, для $P_3P_4$ абсциссы отрицательные, а ординаты положительные).

Всего получилось 4 точки пересечения.

Ответ: Получилось 4 точки пересечения замкнутой ломаной с осями координат. Этим точкам соответствуют комплексные числа: $4i$, $-7$, $i$, $-1$.