Страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.1. a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 + 3i$, $z_3 = -2 + 5i$, $z_4 = -9 + i$, $z_5 = -3 - 2i$.

б) Укажите те точки, которые лежат левее оси ординат. Что можно сказать о знаке действительной части каждой из таких точек?

в) Укажите те точки, которые лежат выше оси абсцисс. Что можно сказать о знаке мнимой части каждой из таких точек?

г) Соедините данные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения замкнутой ломаной с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.

а) Каждому комплексному числу $z = x + yi$ соответствует точка $(x, y)$ на координатной (комплексной) плоскости, где ось абсцисс является действительной осью ($\text{Re}$), а ось ординат — мнимой осью ($\text{Im}$).

Чтобы отметить на координатной плоскости точки, соответствующие данным комплексным числам, определим их координаты:

• Для $z_1 = 1 + 2i$ точка имеет координаты $(1, 2)$.
• Для $z_2 = 2 + 3i$ точка имеет координаты $(2, 3)$.
• Для $z_3 = -2 + 5i$ точка имеет координаты $(-2, 5)$.
• Для $z_4 = -9 + i$ точка имеет координаты $(-9, 1)$.
• Для $z_5 = -3 - 2i$ точка имеет координаты $(-3, -2)$.

Отметим эти пять точек на плоскости.

б) Точки лежат левее оси ординат (оси $Im$), если их первая координата (абсцисса) отрицательна. Абсцисса точки соответствует действительной части комплексного числа ($\text{Re}(z)$). Проверим действительные части данных чисел:

• $\text{Re}(z_1) = 1$ (положительная)
• $\text{Re}(z_2) = 2$ (положительная)
• $\text{Re}(z_3) = -2$ (отрицательная)
• $\text{Re}(z_4) = -9$ (отрицательная)
• $\text{Re}(z_5) = -3$ (отрицательная)

Следовательно, левее оси ординат лежат точки, соответствующие числам $z_3$, $z_4$ и $z_5$. Действительная часть каждой из этих точек отрицательна.

Ответ: Левее оси ординат лежат точки $z_3 = -2 + 5i$, $z_4 = -9 + i$, $z_5 = -3 - 2i$. Действительная часть каждой из таких точек имеет отрицательный знак.

в) Точки лежат выше оси абсцисс (оси $Re$), если их вторая координата (ордината) положительна. Ордината точки соответствует мнимой части комплексного числа ($\text{Im}(z)$). Проверим мнимые части данных чисел:

• $\text{Im}(z_1) = 2$ (положительная)
• $\text{Im}(z_2) = 3$ (положительная)
• $\text{Im}(z_3) = 5$ (положительная)
• $\text{Im}(z_4) = 1$ (положительная)
• $\text{Im}(z_5) = -2$ (отрицательная)

Следовательно, выше оси абсцисс лежат точки, соответствующие числам $z_1$, $z_2$, $z_3$ и $z_4$. Мнимая часть каждой из этих точек положительна.

Ответ: Выше оси абсцисс лежат точки $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 2 + 3i$, $z_3 = -2 + 5i$, $z_4 = -9 + i$. Мнимая часть каждой из таких точек имеет положительный знак.

г) Соединим последовательно точки $P_1(1, 2)$, $P_2(2, 3)$, $P_3(-2, 5)$, $P_4(-9, 1)$, $P_5(-3, -2)$ и $P_1(1, 2)$ отрезками, чтобы получить замкнутую ломаную. Найдем точки пересечения этой ломаной с осями координат.

1. Отрезок $P_2P_3$. Точка $P_2$ имеет положительную абсциссу ($x=2$), а точка $P_3$ — отрицательную ($x=-2$). Значит, отрезок пересекает ось ординат ($x=0$). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P_2(2, 3)$ и $P_3(-2, 5)$:
$\frac{x - 2}{-2 - 2} = \frac{y - 3}{5 - 3} \Rightarrow \frac{x - 2}{-4} = \frac{y - 3}{2} \Rightarrow x - 2 = -2(y - 3) \Rightarrow x + 2y - 8 = 0$.
При $x=0$: $2y - 8 = 0 \Rightarrow y = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$. Соответствующее комплексное число: $4i$.

2. Отрезок $P_4P_5$. Точка $P_4$ имеет положительную ординату ($y=1$), а точка $P_5$ — отрицательную ($y=-2$). Значит, отрезок пересекает ось абсцисс ($y=0$). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P_4(-9, 1)$ и $P_5(-3, -2)$:
$\frac{x - (-9)}{-3 - (-9)} = \frac{y - 1}{-2 - 1} \Rightarrow \frac{x + 9}{6} = \frac{y - 1}{-3} \Rightarrow -(x + 9) = 2(y - 1) \Rightarrow x + 2y + 7 = 0$.
При $y=0$: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Точка пересечения $(-7, 0)$. Соответствующее комплексное число: $-7$.

3. Отрезок $P_5P_1$. У точки $P_5$ абсцисса и ордината отрицательны ($x=-3, y=-2$), а у точки $P_1$ — положительны ($x=1, y=2$). Значит, отрезок пересекает обе оси координат. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P_5(-3, -2)$ и $P_1(1, 2)$:
$\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - (-2)}{2 - (-2)} \Rightarrow \frac{x + 3}{4} = \frac{y + 2}{4} \Rightarrow y = x + 1$.
Пересечение с осью ординат ($x=0$): $y = 0 + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$. Соответствующее комплексное число: $i$.
Пересечение с осью абсцисс ($y=0$): $0 = x + 1 \Rightarrow x = -1$. Точка пересечения $(-1, 0)$. Соответствующее комплексное число: $-1$.

Отрезки $P_1P_2$ и $P_3P_4$ не пересекают оси координат, так как координаты их концов имеют одинаковые знаки (для $P_1P_2$ все положительные, для $P_3P_4$ абсциссы отрицательные, а ординаты положительные).

Всего получилось 4 точки пересечения.

Ответ: Получилось 4 точки пересечения замкнутой ломаной с осями координат. Этим точкам соответствуют комплексные числа: $4i$, $-7$, $i$, $-1$.

33.2. a) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам $z_1 = -5 - 4i$, $z_2 = 1 + 8i$, $z_3 = -2 - 4i$, $z_4 = 8 + i$, $z_5 = -1 - 8i$.

б) Соедините заданные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.

а)

Комплексному числу $z = x + iy$ на координатной плоскости соответствует точка с координатами $(x, y)$, где ось абсцисс является действительной осью (Re), а ось ординат — мнимой осью (Im).

Найдем координаты точек, соответствующих заданным комплексным числам:

Для $z_1 = -5 - 4i$ действительная часть $x_1 = -5$, мнимая часть $y_1 = -4$. Соответствующая точка $A_1$ имеет координаты $(-5, -4)$.

Для $z_2 = 1 + 8i$ действительная часть $x_2 = 1$, мнимая часть $y_2 = 8$. Соответствующая точка $A_2$ имеет координаты $(1, 8)$.

Для $z_3 = -2 - 4i$ действительная часть $x_3 = -2$, мнимая часть $y_3 = -4$. Соответствующая точка $A_3$ имеет координаты $(-2, -4)$.

Для $z_4 = 8 + i$ действительная часть $x_4 = 8$, мнимая часть $y_4 = 1$. Соответствующая точка $A_4$ имеет координаты $(8, 1)$.

Для $z_5 = -1 - 8i$ действительная часть $x_5 = -1$, мнимая часть $y_5 = -8$. Соответствующая точка $A_5$ имеет координаты $(-1, -8)$.

Эти точки необходимо отметить на координатной плоскости в соответствии с их координатами.

Ответ: Точки, соответствующие заданным комплексным числам, имеют следующие координаты на комплексной плоскости: $A_1(-5, -4)$, $A_2(1, 8)$, $A_3(-2, -4)$, $A_4(8, 1)$, $A_5(-1, -8)$.

б)

Соединим точки последовательно отрезками: $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$ и $A_4A_5$. Чтобы найти точки пересечения этих отрезков с осями координат, мы найдем точки пересечения прямых, содержащих эти отрезки, с действительной осью $Ox$ (где $y=0$) и мнимой осью $Oy$ (где $x=0$), а затем проверим, принадлежат ли найденные точки соответствующим отрезкам.

Отрезок $A_1A_2$ с концами в точках $A_1(-5, -4)$ и $A_2(1, 8)$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Для отрезка $A_1A_2$ получаем: $\frac{y - (-4)}{8 - (-4)} = \frac{x - (-5)}{1 - (-5)}$, что упрощается до $\frac{y + 4}{12} = \frac{x + 5}{6}$. Отсюда $y + 4 = 2(x+5)$, и окончательно $y = 2x + 6$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = 2(0) + 6 = 6$. Точка пересечения $(0, 6)$. Координаты точки удовлетворяют условиям принадлежности отрезку ($-5 \le 0 \le 1$ и $-4 \le 6 \le 8$). Этому соответствует комплексное число $z = 6i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = 2x + 6$, откуда $x = -3$. Точка пересечения $(-3, 0)$. Координаты точки удовлетворяют условиям принадлежности отрезку ($-5 \le -3 \le 1$ и $-4 \le 0 \le 8$). Этому соответствует комплексное число $z = -3$.

Отрезок $A_2A_3$ с концами в точках $A_2(1, 8)$ и $A_3(-2, -4)$.

Уравнение прямой: $\frac{y - 8}{-4 - 8} = \frac{x - 1}{-2 - 1}$, что упрощается до $\frac{y - 8}{-12} = \frac{x - 1}{-3}$. Отсюда $y - 8 = 4(x-1)$, и окончательно $y = 4x + 4$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = 4(0) + 4 = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le 0 \le 1$ и $-4 \le 4 \le 8$). Комплексное число: $z = 4i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = 4x + 4$, откуда $x = -1$. Точка пересечения $(-1, 0)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le -1 \le 1$ и $-4 \le 0 \le 8$). Комплексное число: $z = -1$.

Отрезок $A_3A_4$ с концами в точках $A_3(-2, -4)$ и $A_4(8, 1)$.

Уравнение прямой: $\frac{y - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{x - (-2)}{8 - (-2)}$, что упрощается до $\frac{y + 4}{5} = \frac{x + 2}{10}$. Отсюда $2(y+4) = x+2$, или $y = \frac{1}{2}x - 3$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = \frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le 0 \le 8$ и $-4 \le -3 \le 1$). Комплексное число: $z = -3i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = \frac{1}{2}x - 3$, откуда $x = 6$. Точка пересечения $(6, 0)$. Точка принадлежит отрезку ($-2 \le 6 \le 8$ и $-4 \le 0 \le 1$). Комплексное число: $z = 6$.

Отрезок $A_4A_5$ с концами в точках $A_4(8, 1)$ и $A_5(-1, -8)$.

Уравнение прямой: $\frac{y - 1}{-8 - 1} = \frac{x - 8}{-1 - 8}$, что упрощается до $\frac{y - 1}{-9} = \frac{x - 8}{-9}$. Отсюда $y - 1 = x - 8$, и окончательно $y = x - 7$.

Пересечение с мнимой осью (Oy, $x=0$): $y = 0 - 7 = -7$. Точка пересечения $(0, -7)$. Точка принадлежит отрезку ($-1 \le 0 \le 8$ и $-8 \le -7 \le 1$). Комплексное число: $z = -7i$.

Пересечение с действительной осью (Ox, $y=0$): $0 = x - 7$, откуда $x = 7$. Точка пересечения $(7, 0)$. Точка принадлежит отрезку ($-1 \le 7 \le 8$ и $-8 \le 0 \le 1$). Комплексное число: $z = 7$.

Таким образом, получилось 4 отрезка, и каждый из них пересекает обе координатные оси. Всего получается $4 \times 2 = 8$ точек пересечения.

Ответ: Получилось 8 точек пересечения с осями координат. Комплексные числа, которым соответствуют эти точки: $-3, -1, 6, 7, -7i, -3i, 4i, 6i$.

33.3. a) Отметьте на координатной плоскости точки $ \bar{z}_n $ (n = 1, 2, 3, 4, 5), если $ z_1 = -5 - 3i $, $ z_2 = 1 + 6i $, $ z_3 = -3 - 6i $, $ z_4 = 9 + 2i $, $ z_5 = 1 - 6i $.

б) Соедините отмеченные точки последовательно отрезками. Сколько чисто мнимых чисел имеется на полученной ломаной? Назовите их.

в) Сколько на этой ломаной лежит чисел, для которых $ \mathrm{Re}\, z = -3 $? Назовите их.

г) Сколько на ломаной чисел, для которых $ \mathrm{Im}\, z = 3 $? Назовите их.

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел $ z $, удовлетворяющих заданному условию:

а) Для того чтобы отметить на координатной плоскости точки $\bar{z}_n$, нужно найти комплексно-сопряженные числа к заданным. Для комплексного числа $z = x + iy$ сопряженным является число $\bar{z} = x - iy$.

Найдем сопряженные числа и соответствующие им точки на координатной плоскости (ось абсцисс - действительная ось Re, ось ординат - мнимая ось Im):

• $z_1 = -5 - 3i \implies \bar{z}_1 = -5 + 3i$. Этому числу соответствует точка $P_1(-5, 3)$.
• $z_2 = 1 + 6i \implies \bar{z}_2 = 1 - 6i$. Этому числу соответствует точка $P_2(1, -6)$.
• $z_3 = -3 - 6i \implies \bar{z}_3 = -3 + 6i$. Этому числу соответствует точка $P_3(-3, 6)$.
• $z_4 = 9 + 2i \implies \bar{z}_4 = 9 - 2i$. Этому числу соответствует точка $P_4(9, -2)$.
• $z_5 = 1 - 6i \implies \bar{z}_5 = 1 + 6i$. Этому числу соответствует точка $P_5(1, 6)$.

Ответ: На координатной плоскости нужно отметить точки $P_1(-5, 3)$, $P_2(1, -6)$, $P_3(-3, 6)$, $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$.

б) Ломаная состоит из четырех отрезков, последовательно соединяющих точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$. Чисто мнимое число имеет вид $z = 0 + iy$, то есть его действительная часть $Re(z)$ равна нулю. На координатной плоскости таким числам соответствуют точки на оси ординат (прямая $x=0$). Найдем пересечения отрезков ломаной с этой осью.

1. Отрезок $P_1P_2$: концы $P_1(-5, 3)$ и $P_2(1, -6)$. Так как абсциссы $x_1=-5$ и $x_2=1$ имеют разные знаки, отрезок пересекает ось $x=0$. Найдем ординату точки пересечения. Уравнение прямой, проходящей через две точки: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
$\frac{x - (-5)}{1 - (-5)} = \frac{y - 3}{-6 - 3} \implies \frac{x+5}{6} = \frac{y-3}{-9}$.
При $x=0$: $\frac{5}{6} = \frac{y-3}{-9} \implies 6(y-3) = -45 \implies y-3 = -7.5 \implies y = -4.5$.
Точка пересечения $(0, -4.5)$, соответствующее число $z = -4.5i$.

2. Отрезок $P_2P_3$: концы $P_2(1, -6)$ и $P_3(-3, 6)$. Абсциссы $x_2=1$ и $x_3=-3$ имеют разные знаки.$\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-6)}{6 - (-6)} \implies \frac{x-1}{-4} = \frac{y+6}{12}$.
При $x=0$: $\frac{-1}{-4} = \frac{y+6}{12} \implies \frac{1}{4} = \frac{y+6}{12} \implies 4(y+6)=12 \implies y+6=3 \implies y=-3$.
Точка пересечения $(0, -3)$, соответствующее число $z = -3i$.

3. Отрезок $P_3P_4$: концы $P_3(-3, 6)$ и $P_4(9, -2)$. Абсциссы $x_3=-3$ и $x_4=9$ имеют разные знаки.$\frac{x - (-3)}{9 - (-3)} = \frac{y - 6}{-2 - 6} \implies \frac{x+3}{12} = \frac{y-6}{-8}$.
При $x=0$: $\frac{3}{12} = \frac{y-6}{-8} \implies \frac{1}{4} = \frac{y-6}{-8} \implies 4(y-6)=-8 \implies y-6=-2 \implies y=4$.
Точка пересечения $(0, 4)$, соответствующее число $z = 4i$.

4. Отрезок $P_4P_5$: концы $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$. Абсциссы $x_4=9$ и $x_5=1$ обе положительны, поэтому отрезок не пересекает ось $x=0$.

Ответ: На ломаной имеется 3 чисто мнимых числа: $-4.5i, -3i, 4i$.

в) Ищем на ломаной числа, для которых $Re(z) = -3$. Это точки, лежащие на вертикальной прямой $x=-3$.

Сначала проверим вершины ломаной. Точка $P_3$ имеет координаты $(-3, 6)$. Она лежит на прямой $x=-3$. Ей соответствует число $z_A = -3 + 6i$.

Теперь проверим отрезки на пересечение с прямой $x=-3$.

1. Отрезок $P_1P_2$: концы $P_1(-5, 3)$ и $P_2(1, -6)$. Абсциссы $-5$ и $1$. Прямая $x=-3$ пересекает этот отрезок. Используем уравнение прямой из пункта б): $\frac{x+5}{6} = \frac{y-3}{-9}$.
При $x=-3$: $\frac{-3+5}{6} = \frac{y-3}{-9} \implies \frac{2}{6} = \frac{y-3}{-9} \implies \frac{1}{3} = \frac{y-3}{-9} \implies 3(y-3)=-9 \implies y-3=-3 \implies y=0$.
Точка пересечения $(-3, 0)$, соответствующее число $z_B = -3 + 0i = -3$.

2. Отрезок $P_2P_3$: концы $P_2(1, -6)$ и $P_3(-3, 6)$. Пересечение с прямой $x=-3$ происходит в конечной точке $P_3$, которую мы уже учли.

3. Отрезок $P_3P_4$: концы $P_3(-3, 6)$ и $P_4(9, -2)$. Пересечение с прямой $x=-3$ происходит в начальной точке $P_3$, которую мы уже учли.

4. Отрезок $P_4P_5$: концы $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$. Абсциссы $9$ и $1$ обе больше $-3$, поэтому отрезок не пересекает прямую $x=-3$.

Ответ: На ломаной лежит 2 числа, для которых $Re(z) = -3$. Это числа: $-3$ и $-3+6i$.

г) Ищем на ломаной числа, для которых $Im(z) = 3$. Это точки, лежащие на горизонтальной прямой $y=3$.

Сначала проверим вершины ломаной. Точка $P_1$ имеет координаты $(-5, 3)$. Она лежит на прямой $y=3$. Ей соответствует число $z_C = -5 + 3i$.

Теперь проверим отрезки на пересечение с прямой $y=3$.

1. Отрезок $P_1P_2$: концы $P_1(-5, 3)$ и $P_2(1, -6)$. Пересечение с прямой $y=3$ происходит в начальной точке $P_1$, которую мы уже учли.

2. Отрезок $P_2P_3$: концы $P_2(1, -6)$ и $P_3(-3, 6)$. Ординаты $-6$ и $6$. Прямая $y=3$ пересекает этот отрезок. Используем уравнение прямой: $\frac{x-1}{-4} = \frac{y+6}{12}$.
При $y=3$: $\frac{x-1}{-4} = \frac{3+6}{12} \implies \frac{x-1}{-4} = \frac{9}{12} \implies \frac{x-1}{-4} = \frac{3}{4} \implies 4(x-1) = -12 \implies x-1=-3 \implies x=-2$.
Точка пересечения $(-2, 3)$, соответствующее число $z_D = -2 + 3i$.

3. Отрезок $P_3P_4$: концы $P_3(-3, 6)$ и $P_4(9, -2)$. Ординаты $6$ и $-2$. Прямая $y=3$ пересекает этот отрезок. Используем уравнение прямой: $\frac{x+3}{12} = \frac{y-6}{-8}$.
При $y=3$: $\frac{x+3}{12} = \frac{3-6}{-8} \implies \frac{x+3}{12} = \frac{-3}{-8} \implies \frac{x+3}{12} = \frac{3}{8} \implies 8(x+3)=36 \implies 2(x+3)=9 \implies 2x+6=9 \implies 2x=3 \implies x=1.5$.
Точка пересечения $(1.5, 3)$, соответствующее число $z_E = 1.5 + 3i$.

4. Отрезок $P_4P_5$: концы $P_4(9, -2)$ и $P_5(1, 6)$. Ординаты $-2$ и $6$. Прямая $y=3$ пересекает этот отрезок. Уравнение прямой: $\frac{x-9}{1-9} = \frac{y-(-2)}{6-(-2)} \implies \frac{x-9}{-8} = \frac{y+2}{8} \implies -(x-9) = y+2 \implies -x+9=y+2 \implies y=-x+7$.
При $y=3$: $3 = -x+7 \implies x=4$.
Точка пересечения $(4, 3)$, соответствующее число $z_F = 4 + 3i$.

Ответ: На ломаной лежит 4 числа, для которых $Im(z)=3$. Это числа: $-5+3i, -2+3i, 1.5+3i, 4+3i$.

33.4. а) Действительная часть равна -2;

б) мнимая часть равна 3 или 4;

в) $Re z = Im z$;

г) $Re z = (Im z)^2$.

а) Действительная часть равна -2;

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Условие, что действительная часть равна -2, записывается в виде уравнения $\text{Re } z = -2$. Подставляя $x = \text{Re } z$, получаем уравнение $x = -2$.

На координатной плоскости уравнение $x = -2$ задает вертикальную прямую, которая параллельна мнимой оси (оси $Oy$) и проходит через точку $(-2, 0)$ на действительной оси. Все точки на этой прямой имеют действительную координату, равную -2.

Ответ: Вертикальная прямая, заданная уравнением $x = -2$.

б) мнимая часть равна 3 или 4;

Пусть $z = x + iy$. Условие, что мнимая часть равна 3 или 4, можно записать как $\text{Im } z = 3$ или $\text{Im } z = 4$.

Подставляя $y = \text{Im } z$, получаем два уравнения: $y = 3$ и $y = 4$.

Каждое из этих уравнений задает на комплексной плоскости горизонтальную прямую, параллельную действительной оси (оси $Ox$). Прямая $y = 3$ проходит через точку $(0, 3i)$ на мнимой оси, а прямая $y = 4$ — через точку $(0, 4i)$. Искомое множество точек является объединением этих двух прямых.

Ответ: Две горизонтальные прямые, заданные уравнениями $y = 3$ и $y = 4$.

в) Re z = Im z;

Пусть $z = x + iy$. Условие $\text{Re } z = \text{Im } z$ означает, что действительная и мнимая части комплексного числа равны.

В координатах $(x, y)$ это условие записывается как $x = y$.

Уравнение $y = x$ задает на плоскости прямую, проходящую через начало координат $(0, 0)$ под углом $45^\circ$ к положительному направлению действительной оси. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = x$.

г) Re z = (Im z)?;

Пусть $z = x + iy$. Условие $\text{Re } z = (\text{Im } z)^2$ означает, что действительная часть числа равна квадрату его мнимой части.

В координатах $(x, y)$ это условие записывается как $x = y^2$.

Это каноническое уравнение параболы. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$. Осью симметрии параболы является действительная ось ($Ox$), а ее ветви направлены вправо (в сторону положительных значений $x$).

Ответ: Парабола, заданная уравнением $x = y^2$.

o33.5. a) $Re z = 4$ или $Im z = 4$;

б) $|Re z| = |Im z|$;

в) $Re z = 5$ или $Im z = 4$;

г) $Re z = (Im z)^2$ или $(Re z)^2 = Im z$.

а) $\operatorname{Re} z = 4$ или $\operatorname{Im} z = 4$

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \operatorname{Re} z$ - его действительная часть, а $y = \operatorname{Im} z$ - его мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Условие $\operatorname{Re} z = 4$ задает все точки, у которых действительная часть равна 4. На комплексной плоскости это соответствует уравнению $x = 4$. Геометрически это вертикальная прямая, параллельная мнимой оси (оси Oy) и проходящая через точку $(4, 0)$.

Условие $\operatorname{Im} z = 4$ задает все точки, у которых мнимая часть равна 4. На комплексной плоскости это соответствует уравнению $y = 4$. Геометрически это горизонтальная прямая, параллельная действительной оси (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 4)$.

Союз "или" означает, что искомое множество точек является объединением множеств, удовлетворяющих каждому из условий. Таким образом, это совокупность двух прямых: $x=4$ и $y=4$. Эти прямые пересекаются в точке $(4, 4)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой пару перпендикулярных прямых на комплексной плоскости, заданных уравнениями $x=4$ и $y=4$.

б) $|\operatorname{Re} z| = |\operatorname{Im} z|$

Пусть $z = x + iy$. Тогда условие задачи можно записать в виде $|x| = |y|$.

Это равенство эквивалентно совокупности двух уравнений: $x = y$ и $x = -y$.

Уравнение $y=x$ задает на комплексной плоскости прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Уравнение $y=-x$ задает на комплексной плоскости прямую, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Искомое множество точек является объединением этих двух прямых.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой пару прямых, являющихся биссектрисами координатных углов, заданных уравнениями $y=x$ и $y=-x$.

в) $\operatorname{Re} z = 5$ или $\operatorname{Im} z = 4$

Аналогично пункту а), пусть $z = x + iy$. Тогда условия задачи можно записать как $x=5$ или $y=4$.

Уравнение $x=5$ задает на комплексной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(5, 0)$.

Уравнение $y=4$ задает на комплексной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 4)$.

Искомое множество точек является объединением этих двух прямых. Прямые пересекаются в точке, соответствующей комплексному числу $z = 5 + 4i$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой пару перпендикулярных прямых на комплексной плоскости, заданных уравнениями $x=5$ и $y=4$.

г) $\operatorname{Re} z = (\operatorname{Im} z)^2$ или $(\operatorname{Re} z)^2 = \operatorname{Im} z$

Пусть $z = x + iy$. Тогда условия задачи можно записать как $x = y^2$ или $y = x^2$.

Уравнение $x = y^2$ задает параболу, симметричную относительно действительной оси (оси Ox), с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо.

Уравнение $y = x^2$ задает параболу, симметричную относительно мнимой оси (оси Oy), с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Искомое множество точек является объединением этих двух парабол. Они пересекаются в точках, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Подставив $y=x^2$ в первое уравнение, получим $x = (x^2)^2 = x^4$. Отсюда $x^4 - x = 0$, или $x(x^3-1)=0$. Решениями являются $x=0$ и $x=1$. Если $x=0$, то $y=0$. Если $x=1$, то $y=1$. Таким образом, параболы пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, представляет собой объединение двух парабол: параболы $x = y^2$ (симметричной относительно действительной оси) и параболы $y = x^2$ (симметричной относительно мнимой оси).