Номер 32.36, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.36. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 5z_1 - 3\bar{z}_2 = -9 + 5i \\ 4\bar{z}_1 + z_2 = 3 - 4i \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7z_1 + 2\bar{z}_2 = 7 - 4i \\ 3\bar{z}_1 - z_2 = 3 - 2i \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = 7 - 6i \\ 3z_1 - 2z_2 = -3 - i \end{cases}$

г) $\begin{cases} i\bar{z}_1 + 2z_2 = 3 + 8i \\ 2iz_1 - \bar{z}_2 = 7i \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5z_1 - 3\bar{z}_2 = -9 + 5i \\ 4\bar{z}_1 + z_2 = 3 - 4i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от второго уравнения, чтобы получить систему с переменными $z_1$ и $\bar{z}_2$.

$\overline{4\bar{z}_1 + z_2} = \overline{3 - 4i}$

$4z_1 + \bar{z}_2 = 3 + 4i$

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} 5z_1 - 3\bar{z}_2 = -9 + 5i \\ 4z_1 + \bar{z}_2 = 3 + 4i \end{cases}$

Из второго уравнения новой системы выразим $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3 + 4i - 4z_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5z_1 - 3(3 + 4i - 4z_1) = -9 + 5i$

$5z_1 - 9 - 12i + 12z_1 = -9 + 5i$

$17z_1 = 17i$

$z_1 = i$

Теперь найдем $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3 + 4i - 4(i) = 3 + 4i - 4i = 3$

Следовательно, $z_2 = \bar{3} = 3$.

Проверка: подставим $z_1 = i$ и $z_2 = 3$ в исходную систему.

$5(i) - 3(\bar{3}) = 5i - 9$. Верно.

$4(\bar{i}) + 3 = 4(-i) + 3 = 3 - 4i$. Верно.

Ответ: $z_1 = i, z_2 = 3$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7z_1 + 2\bar{z}_2 = 7 - 4i \\ 3\bar{z}_1 - z_2 = 3 - 2i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от второго уравнения:

$\overline{3\bar{z}_1 - z_2} = \overline{3 - 2i}$

$3z_1 - \bar{z}_2 = 3 + 2i$

Решаем систему относительно $z_1$ и $\bar{z}_2$:

$\begin{cases} 7z_1 + 2\bar{z}_2 = 7 - 4i \\ 3z_1 - \bar{z}_2 = 3 + 2i \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3z_1 - (3 + 2i) = 3z_1 - 3 - 2i$

Подставим в первое уравнение:

$7z_1 + 2(3z_1 - 3 - 2i) = 7 - 4i$

$7z_1 + 6z_1 - 6 - 4i = 7 - 4i$

$13z_1 = 13$

$z_1 = 1$

Теперь найдем $\bar{z}_2$:

$\bar{z}_2 = 3(1) - 3 - 2i = -2i$

Следовательно, $z_2 = \overline{-2i} = 2i$.

Проверка: подставим $z_1 = 1$ и $z_2 = 2i$ в исходную систему.

$7(1) + 2(\overline{2i}) = 7 + 2(-2i) = 7 - 4i$. Верно.

$3(\bar{1}) - 2i = 3 - 2i$. Верно.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = 2i$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = 7 - 6i \\ 3z_1 - 2z_2 = -3 - i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от первого уравнения, чтобы получить стандартную систему для $z_1$ и $z_2$.

$\overline{4\bar{z}_1 + \bar{z}_2} = \overline{7 - 6i}$

$4z_1 + z_2 = 7 + 6i$

Решаем систему:

$\begin{cases} 4z_1 + z_2 = 7 + 6i \\ 3z_1 - 2z_2 = -3 - i \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $z_2$:

$z_2 = 7 + 6i - 4z_1$

Подставим во второе уравнение:

$3z_1 - 2(7 + 6i - 4z_1) = -3 - i$

$3z_1 - 14 - 12i + 8z_1 = -3 - i$

$11z_1 = 11 + 11i$

$z_1 = 1 + i$

Теперь найдем $z_2$:

$z_2 = 7 + 6i - 4(1 + i) = 7 + 6i - 4 - 4i = 3 + 2i$

Проверка: подставим $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 3 + 2i$ в исходную систему.

$4(\overline{1+i}) + (\overline{3+2i}) = 4(1-i) + (3-2i) = 4 - 4i + 3 - 2i = 7 - 6i$. Верно.

$3(1+i) - 2(3+2i) = 3 + 3i - 6 - 4i = -3 - i$. Верно.

Ответ: $z_1 = 1 + i, z_2 = 3 + 2i$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} i\bar{z}_1 + 2z_2 = 3 + 8i \\ 2iz_1 - \bar{z}_2 = 7i \end{cases}$

Возьмем комплексно-сопряженное от второго уравнения:

$\overline{2iz_1 - \bar{z}_2} = \overline{7i}$

$-2i\bar{z}_1 - z_2 = -7i$, что эквивалентно $2i\bar{z}_1 + z_2 = 7i$.

Решаем систему относительно $\bar{z}_1$ и $z_2$:

$\begin{cases} i\bar{z}_1 + 2z_2 = 3 + 8i \\ 2i\bar{z}_1 + z_2 = 7i \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $z_2$:

$z_2 = 7i - 2i\bar{z}_1$

Подставим в первое уравнение:

$i\bar{z}_1 + 2(7i - 2i\bar{z}_1) = 3 + 8i$

$i\bar{z}_1 + 14i - 4i\bar{z}_1 = 3 + 8i$

$-3i\bar{z}_1 = 3 - 6i$

$\bar{z}_1 = \frac{3 - 6i}{-3i} = \frac{3}{-3i} - \frac{6i}{-3i} = -\frac{1}{i} + 2 = i + 2 = 2 + i$

Следовательно, $z_1 = \overline{2 + i} = 2 - i$.

Теперь найдем $z_2$:

$z_2 = 7i - 2i\bar{z}_1 = 7i - 2i(2 + i) = 7i - 4i - 2i^2 = 3i - 2(-1) = 2 + 3i$

Проверка: подставим $z_1 = 2 - i$ и $z_2 = 2 + 3i$ в исходную систему.

$i(\overline{2-i}) + 2(2+3i) = i(2+i) + 4 + 6i = 2i + i^2 + 4 + 6i = -1 + 4 + 8i = 3 + 8i$. Верно.

$2i(2-i) - (\overline{2+3i}) = 4i - 2i^2 - (2-3i) = 4i + 2 - 2 + 3i = 7i$. Верно.

Ответ: $z_1 = 2 - i, z_2 = 2 + 3i$.