Номер 33.11, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.11. a) $\operatorname{Im} z \ge 2$ или $\operatorname{Re} z < 3;$

б) $\operatorname{Im} z > 2$ или $\operatorname{Re} z \le 3;$

в) $\operatorname{Re} z > (\operatorname{Im} z)^2$ и $(\operatorname{Re} z)^2 > \operatorname{Im} z;$

г) $\operatorname{Im} z \ge 2 \operatorname{Re} z$ или $\operatorname{Re} z < 3 \operatorname{Im} z.$

а) Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ – его действительная часть, а $y = \text{Im } z$ – мнимая часть. Условия задачи можно переписать в виде системы неравенств для координат $x$ и $y$ на комплексной плоскости.

Заданное условие: $\text{Im } z \ge 2$ или $\text{Re } z < 3$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как $y \ge 2$ или $x < 3$.

1. Неравенство $y \ge 2$ задает на комплексной плоскости верхнюю замкнутую полуплоскость. Это все точки, лежащие на горизонтальной прямой $y=2$ и выше неё.

2. Неравенство $x < 3$ задает левую открытую полуплоскость. Это все точки, лежащие строго левее вертикальной прямой $x=3$. Сама прямая в множество не входит.

Логическая связка "или" означает, что искомое множество является объединением двух указанных полуплоскостей. Это почти вся комплексная плоскость, за исключением области, где не выполняется ни одно из условий, то есть где одновременно $y < 2$ и $x \ge 3$.

Ответ: Объединение двух полуплоскостей: верхней замкнутой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Im } z \ge 2$ (граница $\text{Im } z = 2$ включена), и левой открытой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Re } z < 3$ (граница $\text{Re } z = 3$ не включена).

б) Заданное условие: $\text{Im } z > 2$ или $\text{Re } z \le 3$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как $y > 2$ или $x \le 3$.

1. Неравенство $y > 2$ задает верхнюю открытую полуплоскость. Это все точки, лежащие строго выше горизонтальной прямой $y=2$. Сама прямая в множество не входит.

2. Неравенство $x \le 3$ задает левую замкнутую полуплоскость. Это все точки, лежащие на вертикальной прямой $x=3$ и левее неё.

Искомое множество является объединением этих двух полуплоскостей. Это вся комплексная плоскость, за исключением области, где одновременно $y \le 2$ и $x > 3$.

Ответ: Объединение двух полуплоскостей: верхней открытой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Im } z > 2$ (граница $\text{Im } z = 2$ не включена), и левой замкнутой полуплоскости, определяемой неравенством $\text{Re } z \le 3$ (граница $\text{Re } z = 3$ включена).

в) Заданное условие: $\text{Re } z > (\text{Im } z)^2$ и $(\text{Re } z)^2 > \text{Im } z$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как система двух неравенств: $ \begin{cases} x > y^2 \\ x^2 > y \end{cases} $ или $ \begin{cases} x > y^2 \\ y < x^2 \end{cases} $

1. Неравенство $x > y^2$ задает множество точек, расположенных "внутри" (правее) параболы $x=y^2$. Эта парабола симметрична относительно оси $Ox$ и ее ветви направлены вправо. Граница (сама парабола) в множество не входит.

2. Неравенство $y < x^2$ задает множество точек, расположенных "под" параболой $y=x^2$. Эта парабола симметрична относительно оси $Oy$ и ее ветви направлены вверх. Граница (сама парабола) в множество не входит.

Логическая связка "и" означает, что искомое множество является пересечением двух указанных областей. Найдем точки пересечения парабол: $x=y^2$ и $y=x^2$. Подставив $y$ из второго уравнения в первое, получим $x=(x^2)^2 \Rightarrow x=x^4 \Rightarrow x(x^3-1)=0$. Решениями являются $x=0$ (тогда $y=0$) и $x=1$ (тогда $y=1$). Точки пересечения – $(0,0)$ и $(1,1)$.

Неравенство $x>y^2$ не имеет решений при $x \le 0$, так как $y^2$ всегда неотрицательно. Таким образом, вся искомая область лежит в правой полуплоскости ($x>0$).

Ответ: Множество точек на комплексной плоскости, которые одновременно находятся правее параболы $\text{Re } z = (\text{Im } z)^2$ и ниже параболы $\text{Im } z = (\text{Re } z)^2$. Границы областей, то есть сами параболы, в множество не входят.

г) Заданное условие: $\text{Im } z \ge 2\text{Re } z$ или $\text{Re } z < 3\text{Im } z$.

В координатах $(x, y)$ это записывается как $y \ge 2x$ или $x < 3y$.

1. Неравенство $y \ge 2x$ задает замкнутую полуплоскость, границей которой является прямая $y=2x$. Эта полуплоскость содержит точки на прямой и над ней.

2. Неравенство $x < 3y$ можно переписать как $y > \frac{1}{3}x$. Оно задает открытую полуплоскость, лежащую строго выше прямой $y=\frac{1}{3}x$.

Искомое множество является объединением этих двух полуплоскостей. Граница итоговой области будет состоять из "нижних" участков границ исходных областей.

• При $x > 0$, имеем $2x > \frac{1}{3}x$. Менее строгим является условие $y > \frac{1}{3}x$, так как оно включает в себя область $y \ge 2x$. Таким образом, для $x>0$ решением является $y > \frac{1}{3}x$.
• При $x < 0$, имеем $2x < \frac{1}{3}x$. Менее строгим является условие $y \ge 2x$. Таким образом, для $x<0$ решением является $y \ge 2x$.
• При $x = 0$, условия превращаются в $y \ge 0$ или $0 < 3y \Rightarrow y > 0$. Объединение этих условий дает $y \ge 0$.

Таким образом, искомое множество – это область "над" ломаной линией, проходящей через начало координат.

Ответ: Множество точек, ограниченное снизу ломаной линией, которая состоит из луча прямой $\text{Im } z = 2\text{Re } z$ для $\text{Re } z \le 0$ (этот луч включается в множество) и луча прямой $\text{Re } z = 3\text{Im } z$ для $\text{Re } z > 0$ (этот луч не включается в множество).