Номер 33.12, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.12. a) $Re z + Im z \ge 0;$

б) $1 < Re z + Im z < 2;$

в) $1 < (Re z)^2 + (Im z)^2 < 16;$

г) $(Re z)^2 + (Im z)^2 < 1$ или $16 < (Re z)^2 + (Im z)^2.$

а) Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — действительная часть, а $y = \text{Im } z$ — мнимая часть. Данное неравенство $\text{Re } z + \text{Im } z \ge 0$ на комплексной плоскости, где оси соответствуют действительной ($x$) и мнимой ($y$) частям, принимает вид $x + y \ge 0$. Мы можем переписать это как $y \ge -x$. Граница этой области, $y = -x$, является прямой линией, проходящей через начало координат и являющейся биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Неравенство $y \ge -x$ определяет множество точек, лежащих на этой прямой и выше нее. Таким образом, искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость.
Ответ: Замкнутая полуплоскость, расположенная на прямой $y=-x$ и выше нее.

б) Используя ту же подстановку $z = x + iy$, двойное неравенство $1 < \text{Re } z + \text{Im } z < 2$ преобразуется в $1 < x + y < 2$. Это неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:
1) $x + y > 1$, что эквивалентно $y > -x + 1$.
2) $x + y < 2$, что эквивалентно $y < -x + 2$.
Первое неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = -x + 1$. Второе неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -x + 2$. Прямые $y = -x + 1$ и $y = -x + 2$ параллельны друг другу. Искомое множество точек является пересечением этих двух полуплоскостей, то есть полосой, заключенной между этими двумя прямыми. Так как неравенства строгие, сами прямые в искомое множество не входят.
Ответ: Открытая полоса на комплексной плоскости, заключенная между параллельными прямыми $x+y=1$ и $x+y=2$.

в) Неравенство $1 < (\text{Re } z)^2 + (\text{Im } z)^2 < 16$ в координатах $x$ и $y$ имеет вид $1 < x^2 + y^2 < 16$. Выражение $x^2 + y^2$ равно квадрату модуля комплексного числа $z$, то есть $|z|^2$. Таким образом, неравенство можно записать как $1 < |z|^2 < 16$, или, извлекая квадратный корень из всех частей, $1 < |z| < 4$. Уравнение $|z| = r$ (или $x^2+y^2=r^2$) задает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $r$. Неравенство $|z| > 1$ задает множество точек вне окружности радиуса 1, а неравенство $|z| < 4$ — множество точек внутри окружности радиуса 4. Искомое множество является пересечением этих двух областей, то есть кольцом (аннулюсом) с центром в начале координат, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 4. Поскольку неравенства строгие, граничные окружности в множество не включаются.
Ответ: Открытое кольцо с центром в начале координат, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 4.

г) Условие $(\text{Re } z)^2 + (\text{Im } z)^2 < 1$ или $16 < (\text{Re } z)^2 + (\text{Im } z)^2$ в координатах $x$ и $y$ записывается как $x^2 + y^2 < 1$ или $x^2 + y^2 > 16$. Используя модуль комплексного числа, получаем $|z|^2 < 1$ или $|z|^2 > 16$, что эквивалентно $|z| < 1$ или $|z| > 4$.
Неравенство $|z| < 1$ задает открытый круг с центром в начале координат и радиусом 1 (все точки внутри окружности, не включая саму окружность).
Неравенство $|z| > 4$ задает внешность открытого круга с центром в начале координат и радиусом 4 (все точки вне окружности, не включая саму окружность).
Союз "или" означает, что искомое множество является объединением двух указанных областей.
Ответ: Объединение двух областей: открытого круга радиусом 1 с центром в начале координат и множества всех точек, лежащих вне окружности радиусом 4 с центром в начале координат.