Номер 33.21, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33.21. a) $z \operatorname{Im} z = i$;

б) $z \operatorname{Im} z = -i$;

В) $z (\operatorname{Im} z)^2 = i$;

Г) $z (\operatorname{Im} z)^2 = -i$.

а) $z \text{ Im } z = i$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа ($x = \text{Re } z$, $y = \text{Im } z$). Мнимая часть числа $z$ равна $\text{Im } z = y$. Подставим это в исходное уравнение:
$(x + iy) \cdot y = i$
$xy + iy^2 = i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их для левой и правой ($0 + 1 \cdot i$) частей уравнения: $$ \begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения системы получаем $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим каждый случай:
1. Если $y = 1$, то из первого уравнения $x \cdot 1 = 0$ следует, что $x = 0$. Тогда $z = 0 + 1 \cdot i = i$.
2. Если $y = -1$, то из первого уравнения $x \cdot (-1) = 0$ следует, что $x = 0$. Тогда $z = 0 - 1 \cdot i = -i$.

Проверка:
Для $z=i$: $i \cdot \text{Im}(i) = i \cdot 1 = i$. Верно.
Для $z=-i$: $(-i) \cdot \text{Im}(-i) = (-i) \cdot (-1) = i$. Верно.

Ответ: $z=i$, $z=-i$.

б) $z \text{ Im } z = -i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $\text{Im } z = y$. Подставляем в уравнение:
$(x + iy) \cdot y = -i$
$xy + iy^2 = 0 - 1 \cdot i$

Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} xy = 0 \\ y^2 = -1 \end{cases} $$ Второе уравнение $y^2 = -1$ не имеет решений среди действительных чисел, в то время как мнимая часть комплексного числа $y = \text{Im } z$ по определению является действительным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) $z (\text{Im } z)^2 = i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $(\text{Im } z)^2 = y^2$. Подставляем в уравнение:
$(x + iy) \cdot y^2 = i$
$xy^2 + iy^3 = 0 + 1 \cdot i$

Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует единственное действительное решение $y = 1$. Подставляем это значение в первое уравнение: $x \cdot (1)^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Таким образом, единственное решение $z = 0 + 1 \cdot i = i$.
Проверка: $i \cdot (\text{Im } i)^2 = i \cdot (1)^2 = i$. Верно.

Ответ: $z = i$.

г) $z (\text{Im } z)^2 = -i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $(\text{Im } z)^2 = y^2$. Подставляем в уравнение:
$(x + iy) \cdot y^2 = -i$
$xy^2 + iy^3 = 0 - 1 \cdot i$

Приравниваем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} xy^2 = 0 \\ y^3 = -1 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует единственное действительное решение $y = -1$. Подставляем это значение в первое уравнение: $x \cdot (-1)^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Таким образом, единственное решение $z = 0 - 1 \cdot i = -i$.
Проверка: $(-i) \cdot (\text{Im } (-i))^2 = (-i) \cdot (-1)^2 = -i \cdot 1 = -i$. Верно.

Ответ: $z = -i$.