Номер 32.23, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $i$, и знаменателем, равным $1 - i$.

а) Найдите третий член прогрессии.

б) Найдите девятый член прогрессии.

в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа?

г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

а) По условию, первый член геометрической прогрессии $b_1 = i$, а знаменатель $q = 1 - i$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.Для нахождения третьего члена прогрессии ($n=3$) воспользуемся этой формулой:$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.Подставим значения $b_1$ и $q$:$b_3 = i \cdot (1 - i)^2$.Раскроем квадрат разности:$(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.Теперь найдем $b_3$:$b_3 = i \cdot (-2i) = -2i^2 = -2(-1) = 2$.Ответ: 2.

б) Для нахождения девятого члена прогрессии ($n=9$) воспользуемся той же формулой: $b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8$.Нам нужно вычислить $(1 - i)^8$. Мы уже знаем, что $(1 - i)^2 = -2i$. Тогда:$(1 - i)^8 = ((1 - i)^2)^4 = (-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot (i^2)^2 = 16 \cdot (-1)^2 = 16$.Подставим найденное значение в формулу для $b_9$:$b_9 = i \cdot 16 = 16i$.Ответ: 16i.

в) Чтобы определить, на каких местах в прогрессии находятся чисто мнимые числа, представим n-й член прогрессии $b_n = i \cdot (1 - i)^{n-1}$ в тригонометрической или показательной форме.Первый член $b_1 = i$. Его модуль $|b_1|=1$, аргумент $\arg(b_1) = \frac{\pi}{2}$.Знаменатель $q = 1 - i$. Его модуль $|q| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$, аргумент $\arg(q) = -\frac{\pi}{4}$.Тогда n-й член прогрессии в тригонометрической форме:$b_n = |b_1| \cdot |q|^{n-1} \left( \cos(\arg(b_1) + (n-1)\arg(q)) + i \sin(\arg(b_1) + (n-1)\arg(q)) \right)$$b_n = 1 \cdot (\sqrt{2})^{n-1} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - (n-1)\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - (n