Номер 32.23, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $i$, и знаменателем, равным $1 - i$.

а) Найдите третий член прогрессии.

б) Найдите девятый член прогрессии.

в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа?

г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

В этой задаче мы работаем с комплексными числами. Напомню, что $i^2 = -1$. Нам дана геометрическая прогрессия, где:

$b_1 = i$

$q = 1 - i$

а) Найдите третий член прогрессии ($b_3$)

По формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ имеем $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

1. Вычислим $q^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

2. $b_3 = i \cdot (-2i) = -2i^2 = -2 \cdot (-1) = 2$.

Ответ: $b_3 = 2$

б) Найдите девятый член прогрессии ($b_9$)

$b_9 = b_1 \cdot q^8 = i \cdot (q^2)^4$.

Используем результат из предыдущего пункта ($q^2 = -2i$):

1. $(q^2)^4 = (-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot (i^2)^2 = 16 \cdot (-1)^2 = 16 \cdot 1 = 16$.

2. $b_9 = i \cdot 16 = 16i$.

Ответ: $b_9 = 16i$

в) и г) Позиции мнимых и действительных чисел

Для анализа запишем члены прогрессии в общем виде через степени $q^2 = -2i$:

• $b_1 = i$ (чисто мнимое)
• $b_2 = b_1 \cdot (1-i) = i - i^2 = 1 + i$ (комплексное)
• $b_3 = 2$ (действительное)
• $b_4 = 2(1-i) = 2 - 2i$ (комплексное)
• $b_5 = b_3 \cdot q^2 = 2 \cdot (-2i) = -4i$ (чисто мнимое)
• $b_6 = -4i(1-i) = -4i + 4i^2 = -4 - 4i$ (комплексное)
• $b_7 = b_5 \cdot q^2 = -4i \cdot (-2i) = 8i^2 = -8$ (действительное)
• $b_8 = -8(1-i) = -8 + 8i$ (комплексное)
• $b_9 = 16i$ (чисто мнимое)

Заметим закономерность:

• Чисто мнимые числа: $b_1, b_5, b_9, \dots$ Эти номера образуют арифметическую прогрессию $n = 4k - 3$ (или $n = 1, 5, 9, 13 \dots$).
• Действительные числа: $b_3, b_7, b_{11}, \dots$ Эти номера образуют прогрессию $n = 4k - 1$ (или $n = 3, 7, 11, 15 \dots$).
• На четных местах ($n=2, 4, 6 \dots$) всегда стоят комплексные числа с ненулевыми обеими частями.

Ответ:
в) На местах $4k - 3, \quad k \in \mathbb{N}$.
г) На местах $4k - 1, \quad k \in \mathbb{N}$.