Номер 32.18, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.18. Найдите действительные числа $a$ и $b$, для которых верно

равенство $z = az_1 + bz_2$, если:

а) $z_1 = 1, z_2 = 1 + i, z = 5 + 2i;$

б) $z_1 = -2 + i, z_2 = 3 - i, z = i;$

в) $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i, z = 3 + 5i;$

г) $z_1 = 4 - i, z_2 = -7 + 2i, z = 1.$

а) Подставим данные значения $z_1 = 1$, $z_2 = 1 + i$ и $z = 5 + 2i$ в равенство $z = az_1 + bz_2$, где $a$ и $b$ — действительные числа:
$5 + 2i = a(1) + b(1 + i)$
Раскроем скобки в правой части:
$5 + 2i = a + b + bi$
Сгруппируем действительные и мнимые части в правой части уравнения:
$5 + 2i = (a + b) + bi$
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} a + b = 5 \\ b = 2 \end{cases}$
Из второго уравнения системы сразу получаем значение $b = 2$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти $a$:
$a + 2 = 5$
$a = 5 - 2 = 3$
Ответ: $a=3, b=2$.

б) Подставим $z_1 = -2 + i$, $z_2 = 3 - i$ и $z = i$ в равенство $z = az_1 + bz_2$:
$i = a(-2 + i) + b(3 - i)$
Представим $z$ в виде $0 + 1i$ и раскроем скобки в правой части:
$0 + 1i = -2a + ai + 3b - bi$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$0 + 1i = (-2a + 3b) + (a - b)i$
Приравняем действительные и мнимые части и составим систему уравнений:
$\begin{cases} -2a + 3b = 0 \\ a - b = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$-2(1 + b) + 3b = 0$
$-2 - 2b + 3b = 0$
$b - 2 = 0 \implies b = 2$
Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение для $a$:
$a = 1 + 2 = 3$
Ответ: $a=3, b=2$.

в) Подставим $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 - i$ и $z = 3 + 5i$ в равенство $z = az_1 + bz_2$:
$3 + 5i = a(1 + i) + b(1 - i)$
Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:
$3 + 5i = a + ai + b - bi = (a + b) + (a - b)i$
Приравняем действительные и мнимые части, чтобы получить систему уравнений:
$\begin{cases} a + b = 3 \\ a - b = 5 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(a + b) + (a - b) = 3 + 5$
$2a = 8 \implies a = 4$
Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение системы:
$4 + b = 3 \implies b = 3 - 4 = -1$
Ответ: $a=4, b=-1$.

г) Подставим $z_1 = 4 - i$, $z_2 = -7 + 2i$ и $z = 1$ в равенство $z = az_1 + bz_2$:
$1 = a(4 - i) + b(-7 + 2i)$
Представим $z$ в виде $1 + 0i$ и раскроем скобки:
$1 + 0i = 4a - ai - 7b + 2bi$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$1 + 0i = (4a - 7b) + (-a + 2b)i$
Составим систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:
$\begin{cases} 4a - 7b = 1 \\ -a + 2b = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 2b$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$4(2b) - 7b = 1$
$8b - 7b = 1$
$b = 1$
Теперь найдем $a$:
$a = 2b = 2 \cdot 1 = 2$
Ответ: $a=2, b=1$.