Номер 32.4, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32.4. Укажите хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения $3x^2 + ax + 6 = 0$:

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число;

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

г) укажите все значения $a$, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 + ax + 6 = 0$.

Для решения задачи нам понадобятся следующие формулы:

Дискриминант уравнения: $D = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = a^2 - 72$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{D}}{6}$.

Теорема Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{3} = 2$

Действительные корни существуют, если $D \ge 0$, то есть $a^2 - 72 \ge 0$.

а) оба корня целые, но не натуральные числа;

По теореме Виета произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 2$. Так как по условию корни $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами, то возможны следующие пары корней: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Натуральные числа — это положительные целые числа. Условию "не натуральные числа" удовлетворяет только пара $(-1, -2)$, так как оба числа являются отрицательными целыми.

Пусть $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующее значение параметра $a$ из формулы для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$

$(-1) + (-2) = -\frac{a}{3}$

$-3 = -\frac{a}{3}$

$a = 9$

Проверим: при $a=9$ уравнение имеет вид $3x^2 + 9x + 6 = 0$. После деления на 3 получаем $x^2 + 3x + 2 = 0$. Корни этого уравнения равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$. Оба корня являются целыми, но не натуральными. Условие выполнено.

Ответ: $a=9$.

б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число;

Пусть один из корней, $x_1$, является целым числом. Из теоремы Виета $x_1 \cdot x_2 = 2$, следовательно, второй корень $x_2 = \frac{2}{x_1}$.

По условию, только один корень должен быть целым. Значит, $x_1$ — целое, а $x_2$ — рациональное, но не целое. Это означает, что $x_1$ не должен быть делителем числа 2. Делители 2: $\pm 1, \pm 2$.

Выберем для $x_1$ любое целое число, не равное $\pm 1$ или $\pm 2$. Например, пусть $x_1 = 3$.

Тогда $x_2 = \frac{2}{3}$. Эта пара корней ($3$ и $\frac{2}{3}$) удовлетворяет условию: один корень целый, другой — рациональный, но не целый.

Найдем значение $a$ для этой пары корней, используя сумму корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$

$3 + \frac{2}{3} = -\frac{a}{3}$

$\frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} = -\frac{a}{3}$

$a = -11$

Проверим: при $a=-11$ уравнение имеет вид $3x^2 - 11x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 = 7^2$. Корни: $x = \frac{11 \pm 7}{6}$. $x_1 = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Условия выполнены.

Ответ: $a=-11$ (возможны и другие значения, например, $a=11, a=19, a=-19$).

в) оба корня действительные, но не рациональные числа;

Корни уравнения являются действительными и иррациональными, если дискриминант $D = a^2 - 72$ строго положителен ($D>0$) и не является полным квадратом рационального числа.

Условие $D > 0$ означает $a^2 - 72 > 0$, то есть $a^2 > 72$.

Наименьшее целое число, квадрат которого больше 72, это 9 ($9^2 = 81$).

Проверим целые значения для $a$, начиная с 9.

При $a=9$: $D = 9^2 - 72 = 81 - 72 = 9 = 3^2$. Дискриминант является полным квадратом, поэтому корни будут рациональными. Этот случай не подходит.

При $a=10$: $D = 10^2 - 72 = 100 - 72 = 28$. Число 28 положительное, но не является полным квадратом. Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{28}$ — иррациональное число, и корни уравнения будут иррациональными.

Корни при $a=10$ равны $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{7}}{3}$. Оба корня действительные, но не рациональные. Условие выполнено.

Ответ: $a=10$ (возможно и любое другое значение $a$, для которого $a^2-72$ является положительным числом, но не полным квадратом, например, $a=12$).

г) укажите все значения $a$, при которых действительных корней нет.

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен.

$D < 0$

$a^2 - 72 < 0$

$a^2 < 72$

Решением этого неравенства является интервал:

$-\sqrt{72} < a < \sqrt{72}$

Упростим $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Таким образом, интервал для $a$ следующий:

$-6\sqrt{2} < a < 6\sqrt{2}$

Ответ: $a \in (-6\sqrt{2}, 6\sqrt{2})$.