Номер 31.41, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 31. Методы решения тригонометрических уравнений - номер 31.41, страница 188.

Условие.

31.41. a) $\sqrt{25 - 4x^2}(3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0;$

б) $\sqrt{49 - 4x^2}\left(\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2}\right) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) $\sqrt{25 - 4x^2} (3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$25 - 4x^2 \ge 0$

$4x^2 \le 25$

$x^2 \le \frac{25}{4}$

$-\frac{5}{2} \le x \le \frac{5}{2}$ или $x \in [-2.5, 2.5]$.

2. Решим уравнение. Оно распадается на два случая:

Случай 1: $\sqrt{25 - 4x^2} = 0$

$25 - 4x^2 = 0$

$x^2 = \frac{25}{4}$

$x_1 = \frac{5}{2} = 2.5$, $x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $3 \sin 2\pi x + 8 \sin \pi x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$3(2 \sin \pi x \cos \pi x) + 8 \sin \pi x = 0$

$6 \sin \pi x \cos \pi x + 8 \sin \pi x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin \pi x$ за скобки:

$2 \sin \pi x (3 \cos \pi x + 4) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $\sin \pi x = 0$

$\pi x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $x \in [-2.5, 2.5]$:

$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

б) $3 \cos \pi x + 4 = 0$

$3 \cos \pi x = -4$

$\cos \pi x = -\frac{4}{3}$

Так как $|\cos \alpha| \le 1$ для любого $\alpha$, а $|-\frac{4}{3}| > 1$, это уравнение не имеет решений.

3. Объединим все найденные решения:

Из случая 1: $\{-2.5, 2.5\}$.

Из случая 2: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Итоговые корни: $\{-2.5, -2, -1, 0, 1, 2, 2.5\}$.

Ответ: $\{-2.5, -2, -1, 0, 1, 2, 2.5\}$.

б) $\sqrt{49 - 4x^2} (\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2}) = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$49 - 4x^2 \ge 0$

$4x^2 \le 49$

$x^2 \le \frac{49}{4}$

$-\frac{7}{2} \le x \le \frac{7}{2}$ или $x \in [-3.5, 3.5]$.

2. Решим уравнение. Оно распадается на два случая:

Случай 1: $\sqrt{49 - 4x^2} = 0$

$49 - 4x^2 = 0$

$x^2 = \frac{49}{4}$

$x_1 = \frac{7}{2} = 3.5$, $x_2 = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $\sin \pi x + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = \pi x$:

$2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 3 \cos \frac{\pi x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{\pi x}{2}$ за скобки:

$\cos \frac{\pi x}{2} (2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $\cos \frac{\pi x}{2} = 0$

$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = 1 + 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $x \in [-3.5, 3.5]$:

$-3.5 \le 1 + 2k \le 3.5$

$-4.5 \le 2k \le 2.5$

$-2.25 \le k \le 1.25$

Целочисленные значения $k$ из этого интервала: $\{-2, -1, 0, 1\}$.

При $k = -2: x = 1 + 2(-2) = -3$.

При $k = -1: x = 1 + 2(-1) = -1$.

При $k = 0: x = 1 + 2(0) = 1$.

При $k = 1: x = 1 + 2(1) = 3$.

Корни из этого случая: $\{-3, -1, 1, 3\}$.

б) $2 \sin \frac{\pi x}{2} + 3 = 0$

$2 \sin \frac{\pi x}{2} = -3$

$\sin \frac{\pi x}{2} = -\frac{3}{2}$

Так как $|\sin \alpha| \le 1$ для любого $\alpha$, а $|-\frac{3}{2}| > 1$, это уравнение не имеет решений.

3. Объединим все найденные решения:

Из случая 1: $\{-3.5, 3.5\}$.

Из случая 2: $\{-3, -1, 1, 3\}$.

Итоговые корни: $\{-3.5, -3, -1, 1, 3, 3.5\}$.

Ответ: $\{-3.5, -3, -1, 1, 3, 3.5\}$.