Номер 31.38, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.38. $\cos 2x \left(1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x\right) = 1.$

31.38. Решим данное тригонометрическое уравнение:

$\cos 2x \left(1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x\right) = 1$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого выразим $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$. Подставим это в исходное уравнение:

$\cos 2x \left(1 - \frac{3}{4}(1 - \cos^2 2x)\right) = 1$

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = \cos 2x$. Учитывая, что область значений функции косинус от -1 до 1 включительно, имеем ограничение $|t| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$t \left(1 - \frac{3}{4}(1 - t^2)\right) = 1$

Теперь решим это алгебраическое уравнение относительно $t$. Раскроем скобки:

$t \left(1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}t^2\right) = 1$

$t \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}t^2\right) = 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$t (1 + 3t^2) = 4$

$3t^3 + t - 4 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Найдем его корни подбором среди делителей свободного члена. Проверим $t=1$:

$3(1)^3 + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$

Поскольку равенство верное, $t=1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $3t^3 + t - 4$ на $(t-1)$, чтобы найти остальные корни. В результате разложения на множители получаем:

$(t-1)(3t^2 + 3t + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $t - 1 = 0 \implies t = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

2) $3t^2 + 3t + 4 = 0$. Для этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 9 - 48 = -39$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Таким образом, единственное возможное действительное значение для $t$ это $1$.

Выполним обратную замену:

$\cos 2x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решения находятся по формуле:

$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).

Наконец, найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.