Номер 31.35, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.35. $6 \tan x + 5 \cot 3x = \tan 2x$.

Исходное уравнение:$6 \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} 3x = \operatorname{tg} 2x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенсов и котангенса:

• $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
• $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
• $\sin 3x \neq 0 \implies 3x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Перенесем $\operatorname{tg} 2x$ в левую часть и сгруппируем слагаемые:$6 \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x + 5 \operatorname{ctg} 3x = 0$$(5 \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} 3x) + (\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x) = 0$$5(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} 3x) + (\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x) = 0$

Преобразуем выражения в скобках, используя формулы суммы и разности тангенсов, а также определение котангенса.

Для первой скобки:$\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} 3x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos 3x}{\sin 3x} = \frac{\sin x \sin 3x + \cos x \cos 3x}{\cos x \sin 3x}$Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, получаем:$\frac{\cos(3x - x)}{\cos x \sin 3x} = \frac{\cos 2x}{\cos x \sin 3x}$

Для второй скобки:$\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 2x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin x \cos 2x - \cos x \sin 2x}{\cos x \cos 2x}$Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:$\frac{\sin(x - 2x)}{\cos x \cos 2x} = \frac{\sin(-x)}{\cos x \cos 2x} = -\frac{\sin x}{\cos x \cos 2x}$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:$5 \left( \frac{\cos 2x}{\cos x \sin 3x} \right) - \frac{\sin x}{\cos x \cos 2x} = 0$

Поскольку из ОДЗ следует, что $\cos x \neq 0$, $\cos 2x \neq 0$ и $\sin 3x \neq 0$, мы можем умножить уравнение на $\cos x \sin 3x \cos 2x$, чтобы избавиться от знаменателей. Или, что проще, вынесем общий множитель $\frac{1}{\cos x}$ и перенесем одно из слагаемых в правую часть:$\frac{5 \cos 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin x}{\cos 2x}$$5 \cos^2 2x = \sin x \sin 3x$

Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.$\sin x \sin 3x = \frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$

Подставляем это в уравнение:$5 \cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2 2x - 1$.$5 \cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1))$$10 \cos^2 2x = \cos 2x - 2\cos^2 2x + 1$$12 \cos^2 2x - \cos 2x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \cos 2x$. Получаем квадратное уравнение:$12y^2 - y - 1 = 0$Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.Корни уравнения:$y_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$y_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $\cos 2x = \frac{1}{3}$Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos 2x \neq 0$. Проверим остальные условия ОДЗ.$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1+1/3}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3} \neq 0$, значит $\cos x \neq 0$.Из уравнения $5 \cos^2 2x = \sin x \sin 3x$ следует, что $5(\frac{1}{3})^2 = \sin x \sin 3x$, то есть $\frac{5}{9} = \sin x \sin 3x$. Так как правая часть не равна нулю, то и $\sin 3x \neq 0$. Все условия ОДЗ выполнены.Решение для этого случая:$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $\cos 2x = -\frac{1}{4}$Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos 2x \neq 0$. Проверим остальные условия ОДЗ.$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1-1/4}{2} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8} \neq 0$, значит $\cos x \neq 0$.Из уравнения $5 \cos^2 2x = \sin x \sin 3x$ следует, что $5(-\frac{1}{4})^2 = \sin x \sin 3x$, то есть $\frac{5}{16} = \sin x \sin 3x$. Так как правая часть не равна нулю, то и $\sin 3x \neq 0$. Все условия ОДЗ выполнены.Решение для этого случая:$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.