Номер 31.29, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.29. Сколько корней уравнения $\frac{\cos^2 x - \cos x - \sin^2 x}{1 - \cos 2x - \sin x} = 0$ удовлетворяют неравенству $36\pi^2 + 7\pi x - 4x^2 \ge 0$?

Для решения задачи необходимо сначала найти все корни тригонометрического уравнения, а затем отобрать те из них, которые попадают в промежуток, являющийся решением неравенства.

1. Решение уравнения

Исходное уравнение представляет собой дробь, равную нулю:
$ \frac{\cos^2 x - \cos x - \sin^2 x}{1 - \cos 2x - \sin x} = 0 $
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) Приравняем числитель к нулю:
$ \cos^2 x - \cos x - \sin^2 x = 0 $
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $, преобразуем уравнение:
$ \cos 2x - \cos x = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ -2 \sin\left(\frac{2x+x}{2}\right) \sin\left(\frac{2x-x}{2}\right) = 0 $
$ -2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1) $ \sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \implies \frac{3x}{2} = k\pi \implies x = \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $
2) $ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z} $
Заметим, что вторая серия корней $ x = 2n\pi $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{2k\pi}{3} $ при $ k=3n $. Таким образом, все корни числителя можно описать одной формулой: $ x = \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

б) Проверим условие неравенства знаменателя нулю (ОДЗ):
$ 1 - \cos 2x - \sin x \neq 0 $
Используя формулу $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - (1 - 2\sin^2 x) - \sin x \neq 0 $
$ 2\sin^2 x - \sin x \neq 0 $
$ \sin x (2\sin x - 1) \neq 0 $
Отсюда получаем два условия:
1) $ \sin x \neq 0 $
2) $ \sin x \neq \frac{1}{2} $

в) Исключим из корней числителя те, что не входят в ОДЗ:
Подставим найденные корни $ x = \frac{2k\pi}{3} $ в условия ОДЗ.
1) $ \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \neq 0 $. Синус равен нулю, когда его аргумент кратен $ \pi $. Значит, $ \frac{2k\pi}{3} \neq m\pi \implies 2k \neq 3m $. Это возможно, только если $k$ не делится нацело на 3. Таким образом, мы должны исключить значения $ k $, кратные 3.
2) $ \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \neq \frac{1}{2} $. Значения $ \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) $ могут быть $0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ни одно из этих значений не равно $ \frac{1}{2} $. Поэтому это условие не накладывает дополнительных ограничений на $k$.
Итак, решениями уравнения являются $ x = \frac{2k\pi}{3} $ для всех целых $k$, не кратных 3.

2. Решение неравенства

Рассмотрим квадратичное неравенство $ 36\pi^2 + 7\pi x - 4x^2 \ge 0 $.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$ 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 \le 0 $
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 = 0 $.
Дискриминант: $ D = (-7\pi)^2 - 4(4)(-36\pi^2) = 49\pi^2 + 576\pi^2 = 625\pi^2 = (25\pi)^2 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{7\pi - 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{-18\pi}{8} = -\frac{9\pi}{4} $
$ x_2 = \frac{7\pi + 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{32\pi}{8} = 4\pi $
Поскольку парабола $ y = 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 $ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $ 4x^2 - 7\pi x - 36\pi^2 \le 0 $ выполняется между корнями.
Таким образом, решением неравенства является отрезок $ \left[-\frac{9\pi}{4}, 4\pi\right] $.

3. Отбор корней и подсчет их количества

Теперь найдем, сколько корней вида $ x = \frac{2k\pi}{3} $ (где $k \in \mathbb{Z}, k$ не кратно 3) лежат в отрезке $ \left[-\frac{9\pi}{4}, 4\pi\right] $.
Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:
$ -\frac{9\pi}{4} \le \frac{2k\pi}{3} \le 4\pi $
Разделим все части на $ \pi $ (так как $ \pi > 0 $, знаки неравенства сохраняются):
$ -\frac{9}{4} \le \frac{2k}{3} \le 4 $
Умножим все части на $ \frac{3}{2} $:
$ -\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} \le k \le 4 \cdot \frac{3}{2} $
$ -\frac{27}{8} \le k \le 6 $
В десятичном виде:
$ -3.375 \le k \le 6 $
Поскольку $k$ – целое число, его возможные значения: $ \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.
Из этого набора нужно исключить значения $k$, кратные 3. Это числа $ -3, 0, 3, 6 $.
Остаются следующие значения для $k$: $ \{-2, -1, 1, 2, 4, 5\} $.
Количество таких значений равно 6.

Ответ: 6