Номер 31.27, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.27. Найдите корни уравнения $\cos 4x + \frac{10 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 3$, принадлежащие отрезку $[-2; 1,4]$.

Рассмотрим уравнение $ \cos 4x + \frac{10 \tg x}{1 + \tg^2 x} = 3 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, что равносильно $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла, выраженной через тангенс: $ \sin(2\alpha) = \frac{2 \tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} $. Преобразуем дробь в левой части уравнения: $$ \frac{10 \tg x}{1 + \tg^2 x} = 5 \cdot \left(\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}\right) = 5 \sin(2x) $$

Уравнение примет вид: $$ \cos 4x + 5 \sin(2x) = 3 $$

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $. При $ \alpha = 2x $ имеем $ \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) $. Подставим в уравнение: $$ 1 - 2\sin^2(2x) + 5 \sin(2x) = 3 $$

Перенесем все слагаемые в одну часть и получим квадратное уравнение относительно $ \sin(2x) $: $$ 2\sin^2(2x) - 5 \sin(2x) + 2 = 0 $$

Введем замену $ t = \sin(2x) $, где $ |t| \le 1 $. Уравнение примет вид: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $. Корни: $$ t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Корень $ t_1 = 2 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, следовательно, является посторонним. Остается корень $ t_2 = \frac{1}{2} $.

Выполним обратную замену: $$ \sin(2x) = \frac{1}{2} $$

Решения этого уравнения представляют собой две серии: $$ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Отсюда получаем общие решения для $ x $: $$ x = \frac{\pi}{12} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Найденные корни удовлетворяют ОДЗ, так как для них $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x = 1/2 $, что было бы невозможно при $ \cos x = 0 $.

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $ [-2; 1,4] $.

Для первой серии $ x = \frac{\pi}{12} + \pi n $:
- при $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{12} $. Оценим значение: $ -2 < \frac{\pi}{12} < 1,4 $, так как $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{\pi}{12} \approx 0,26 $. Корень подходит.
- при $ n = 1 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \approx 3,4 > 1,4 $. Не подходит.
- при $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12} \approx -2,88 < -2 $. Не подходит.

Для второй серии $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi n $:
- при $ n = 0 $: $ x = \frac{5\pi}{12} $. Оценим значение: $ -2 < \frac{5\pi}{12} < 1,4 $, так как $ \frac{5\pi}{12} \approx 1,31 $. Корень подходит.
- при $ n = -1 $: $ x = \frac{5\pi}{12} - \pi = -\frac{7\pi}{12} $. Оценим значение: $ -2 < -\frac{7\pi}{12} < 1,4 $, так как $ -\frac{7\pi}{12} \approx -1,83 $. Корень подходит.
- при $ n = 1 $: $ x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12} \approx 4,45 > 1,4 $. Не подходит.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку $ [-2; 1,4] $: $ -\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} $.

Ответ: $ -\frac{7\pi}{12}; \frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12} $.