Номер 31.26, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.26. $3 \sin x - 5 \sin \left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x.$

Перегруппируем члены исходного уравнения $3 \sin x - 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos x$:

$3 \sin x - 4 \cos x = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$5\left(\frac{3}{5} \sin x - \frac{4}{5} \cos x\right) = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Такому условию удовлетворяет угол $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$.

Используя эти обозначения, выражение в скобках можно свернуть по формуле синуса разности:

$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = \sin(x - \alpha)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$5 \sin(x - \alpha) = 5 \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Разделив обе части на 5, получаем:

$\sin(x - \alpha) = \sin\left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = m\pi + (-1)^m B$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$x - \alpha = m\pi + (-1)^m \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от четности $m$.

1. Если $m$ — четное число (т.е. $m = 2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$), то $(-1)^m = 1$, и уравнение становится:

$x - \alpha = 2n\pi + 7x + \frac{\pi}{6}$

$-6x = \alpha + \frac{\pi}{6} + 2n\pi$

$x = -\frac{\alpha}{6} - \frac{\pi}{36} - \frac{n\pi}{3}$

Поскольку $n$ пробегает все целые числа, то и $-n$ тоже. Для удобства записи мы можем заменить $-n$ на $n$ (или любую другую букву), получив $x = \frac{n\pi}{3} - \frac{\pi}{36} - \frac{\alpha}{6}$.

2. Если $m$ — нечетное число (т.е. $m = 2k + 1$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$), то $(-1)^m = -1$, и уравнение становится:

$x - \alpha = (2k+1)\pi - \left(7x + \frac{\pi}{6}\right)$

$x - \alpha = 2k\pi + \pi - 7x - \frac{\pi}{6}$

$8x = \alpha + \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

$x = \frac{\alpha}{8} + \frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}$

Объединяя оба случая и подставляя $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)$, получаем две серии решений.

Ответ: $x = \frac{n\pi}{3} - \frac{\pi}{36} - \frac{1}{6}\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$; $x = \frac{k\pi}{4} + \frac{5\pi}{48} + \frac{1}{8}\arccos\left(\frac{3}{5}\right)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.