Номер 31.19, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.19. $ \sin 2x + \operatorname{tg} x = 2. $

Исходное уравнение: $ \sin 2x + \tg x = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $. Это означает, что $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для решения уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами, чтобы выразить все члены через одну функцию. Удобно использовать выражение синуса двойного угла через тангенс: $ \sin 2x = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$ \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} + \tg x = 2 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \tg x $. Уравнение примет вид:$ \frac{2t}{1 + t^2} + t = 2 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ 1 + t^2 $. Так как $ 1 + t^2 > 0 $ для любого действительного значения $ t $, это преобразование является равносильным и не приводит к появлению посторонних корней.

$ 2t + t(1 + t^2) = 2(1 + t^2) $

Раскроем скобки:$ 2t + t + t^3 = 2 + 2t^2 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить кубическое уравнение:$ t^3 - 2t^2 + 3t - 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения. По теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-2). Проверим возможные корни: $ \pm 1, \pm 2 $.Подставим $ t = 1 $:$ (1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0 $.Следовательно, $ t = 1 $ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $ t^3 - 2t^2 + 3t - 2 $ на $ (t - 1) $ (например, используя деление столбиком), чтобы найти остальные корни.$ (t^3 - 2t^2 + 3t - 2) \div (t - 1) = t^2 - t + 2 $.

Таким образом, уравнение можно записать в виде произведения:$ (t - 1)(t^2 - t + 2) = 0 $

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $ t - 1 = 0 \implies t = 1 $.

2) $ t^2 - t + 2 = 0 $.Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 $.Поскольку дискриминант $ D < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным решением для $ t $ является $ t = 1 $.

Теперь выполним обратную замену:$ \tg x = 1 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:$ x = \arctan(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $), так как $ \frac{\pi}{4} + \pi n $ никогда не равно $ \frac{\pi}{2} + \pi k $ для любых целых $ n $ и $ k $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.