Номер 31.14, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.14. a) $ \cos 4x + 5 \cos^2 x = 0,75 $

б) $ \cos 4x + 3 \sin^2 x = 0,25 $

а) $\cos 4x + 5 \cos^2 x = 0,75$

Для решения этого уравнения приведем все тригонометрические функции к одному аргументу. Удобнее всего привести все к аргументу $2x$. Для этого воспользуемся формулами двойного угла и понижения степени:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

2. Формула понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

3. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,75 = \frac{3}{4}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2\cos^2(2x) - 1) + 5 \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = \frac{3}{4}$

Введем замену переменной. Пусть $y = \cos 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$2y^2 - 1 + \frac{5(1 + y)}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4(2y^2 - 1) + 4 \cdot \frac{5(1 + y)}{2} = 4 \cdot \frac{3}{4}$

$8y^2 - 4 + 10(1 + y) = 3$

$8y^2 - 4 + 10 + 10y = 3$

$8y^2 + 10y + 6 = 3$

$8y^2 + 10y + 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$y_1 = \frac{-10 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-10 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

Теперь вернемся к замене $y = \cos 2x$ и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = -\frac{3}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 4x + 3 \sin^2 x = 0,25$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, приведя все функции к аргументу $2x$. Используем формулы:

1. $\cos 4x = 2\cos^2(2x) - 1$.

2. Формула понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

3. $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставляем в уравнение:

$(2\cos^2(2x) - 1) + 3 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = \frac{1}{4}$

Сделаем замену $y = \cos 2x$:

$2y^2 - 1 + \frac{3(1 - y)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4(2y^2 - 1) + 4 \cdot \frac{3(1 - y)}{2} = 4 \cdot \frac{1}{4}$

$8y^2 - 4 + 6(1 - y) = 1$

$8y^2 - 4 + 6 - 6y = 1$

$8y^2 - 6y + 2 = 1$

$8y^2 - 6y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 = 2^2$

$y_1 = \frac{6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{6 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Возвращаемся к замене $y = \cos 2x$:

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.