Номер 31.8, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.8. $tg(x - 15^\circ) ctg(x + 15^\circ) = \frac{1}{3}$

Дано тригонометрическое уравнение:

$\tg(x - 15^\circ) \ctg(x + 15^\circ) = \frac{1}{3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент тангенса не должен быть равен $90^\circ + 180^\circ n$, а аргумент котангенса не должен быть равен $180^\circ k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

1. $\cos(x - 15^\circ) \neq 0 \implies x - 15^\circ \neq 90^\circ + 180^\circ n \implies x \neq 105^\circ + 180^\circ n$.

2. $\sin(x + 15^\circ) \neq 0 \implies x + 15^\circ \neq 180^\circ k \implies x \neq -15^\circ + 180^\circ k$.

Преобразуем уравнение, используя тождество $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$:

$\frac{\tg(x - 15^\circ)}{\tg(x + 15^\circ)} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$3 \tg(x - 15^\circ) = \tg(x + 15^\circ)$

Выразим тангенсы через синусы и косинусы:

$3 \frac{\sin(x - 15^\circ)}{\cos(x - 15^\circ)} = \frac{\sin(x + 15^\circ)}{\cos(x + 15^\circ)}$

Перемножим уравнение крест-накрест, чтобы избавиться от дробей:

$3 \sin(x - 15^\circ) \cos(x + 15^\circ) = \sin(x + 15^\circ) \cos(x - 15^\circ)$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения.

Для левой части: $\alpha = x - 15^\circ, \beta = x + 15^\circ$.

$3 \cdot \frac{1}{2}(\sin((x - 15^\circ) + (x + 15^\circ)) + \sin((x - 15^\circ) - (x + 15^\circ)))$

$\frac{3}{2}(\sin(2x) + \sin(-30^\circ)) = \frac{3}{2}(\sin(2x) - \frac{1}{2})$

Для правой части: $\alpha = x + 15^\circ, \beta = x - 15^\circ$.

$\frac{1}{2}(\sin((x + 15^\circ) + (x - 15^\circ)) + \sin((x + 15^\circ) - (x - 15^\circ)))$

$\frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(30^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \frac{1}{2})$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$\frac{3}{2}(\sin(2x) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(\sin(2x) + \frac{1}{2})$

Умножим обе части на 2:

$3(\sin(2x) - \frac{1}{2}) = \sin(2x) + \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\sin(2x)$:

$3\sin(2x) - \frac{3}{2} = \sin(2x) + \frac{1}{2}$

$3\sin(2x) - \sin(2x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$2\sin(2x) = 2$

$\sin(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решением которого является:

$2x = 90^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

$45^\circ + 180^\circ k \neq 105^\circ + 180^\circ n \implies 180^\circ(k-n) \neq 60^\circ \implies k-n \neq \frac{1}{3}$. Это верно, так как разность целых чисел не может быть дробью.

$45^\circ + 180^\circ k \neq -15^\circ + 180^\circ m \implies 180^\circ(k-m) \neq -60^\circ \implies k-m \neq -\frac{1}{3}$. Это также верно.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.