Номер 31.2, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.2. a) $\sin x \sin 5x = \cos 4x$;

б) $\cos x \cos 5x = \cos 6x$.

а) $ \sin x \sin 5x = \cos 4x $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $: $ \sin 5x \sin x = \frac{1}{2}(\cos(5x - x) - \cos(5x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x) $.

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение: $ \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 6x) = \cos 4x $.

Умножим обе части уравнения на 2 и преобразуем его: $ \cos 4x - \cos 6x = 2\cos 4x $ $ - \cos 6x = 2\cos 4x - \cos 4x $ $ - \cos 6x = \cos 4x $ $ \cos 6x + \cos 4x = 0 $.

Далее воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эту формулу, где $ \alpha = 6x $ и $ \beta = 4x $: $ 2\cos\frac{6x + 4x}{2}\cos\frac{6x - 4x}{2} = 0 $ $ 2\cos 5x \cos x = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos x = 0 $, откуда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 5x = 0 $, откуда $ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, что дает $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

Проверим, не является ли первая серия решений частным случаем второй. Подставим $ k = 2 + 5n $ (где $ n $ — целое число, $ k $ также будет целым) во вторую формулу: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi (2 + 5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \frac{5\pi n}{5} = \frac{\pi + 4\pi}{10} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Это совпадает с первой серией решений. Следовательно, все решения описываются второй, более общей, формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos x \cos 5x = \cos 6x $

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $: $ \cos 5x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(5x - x) + \cos(5x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 6x) $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $ \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 6x) = \cos 6x $.

Умножим обе части на 2 и упростим выражение: $ \cos 4x + \cos 6x = 2\cos 6x $ $ \cos 4x = 2\cos 6x - \cos 6x $ $ \cos 4x = \cos 6x $.

Уравнение вида $ \cos A = \cos B $ равносильно совокупности $ A = \pm B + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $. Применим это к нашему уравнению: $ 6x = \pm 4x + 2\pi m $.

Рассмотрим два случая:

1) С положительным знаком: $ 6x = 4x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $ $ 2x = 2\pi n $ $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) С отрицательным знаком: $ 6x = -4x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ $ 10x = 2\pi k $ $ x = \frac{2\pi k}{10} = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что первая серия решений $ x = \pi n $ является частным случаем второй серии $ x = \frac{\pi k}{5} $. Если во второй формуле взять $ k = 5n $ (где $ n $ — целое число), то получим $ x = \frac{\pi (5n)}{5} = \pi n $. Следовательно, все решения можно объединить в одну более общую формулу.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.