Номер 30.25, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.25. a) $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$;

б) $\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$.

Рассмотрим неравенство $3 \sin x + 5 \cos x < \sqrt[3]{210}$.

Чтобы решить это неравенство, оценим множество значений выражения в левой части. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла. Область значений такого выражения есть отрезок $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$.

В данном случае коэффициенты $a=3$ и $b=5$. Найдем максимальное значение левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство:

$-\sqrt{34} \le 3 \sin x + 5 \cos x \le \sqrt{34}$.

Теперь сравним максимальное значение левой части, равное $\sqrt{34}$, с правой частью исходного неравенства, $\sqrt[3]{210}$.

Для сравнения чисел $\sqrt{34}$ и $\sqrt[3]{210}$ возведем их в 6-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3):

$(\sqrt{34})^6 = 34^3 = 34 \times 1156 = 39304$.

$(\sqrt[3]{210})^6 = 210^2 = 44100$.

Так как $39304 < 44100$, то $34^3 < 210^2$, и, следовательно, $\sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$.

Мы получили, что максимальное значение выражения $3 \sin x + 5 \cos x$ меньше, чем число в правой части неравенства. Таким образом, для любого $x$ выполняется:

$3 \sin x + 5 \cos x \le \sqrt{34} < \sqrt[3]{210}$.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим неравенство $\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x > -\sqrt[3]{390}$.

Аналогично предыдущему пункту, оценим множество значений выражения в левой части. Для выражения вида $a \sin x + b \cos x$ с коэффициентами $a=\sqrt{3}$ и $b=-7$, область значений — это отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Найдем значение $\sqrt{a^2+b^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-7)^2} = \sqrt{3 + 49} = \sqrt{52}$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ справедливо двойное неравенство:

$-\sqrt{52} \le \sqrt{3} \sin x - 7 \cos x \le \sqrt{52}$.

Минимальное значение левой части равно $-\sqrt{52}$.

Теперь сравним это минимальное значение с правой частью исходного неравенства, $-\sqrt[3]{390}$. Для этого сравним положительные числа $\sqrt{52}$ и $\sqrt[3]{390}$.

Возведем оба числа в 6-ю степень:

$(\sqrt{52})^6 = 52^3 = 52 \times 2704 = 140608$.

$(\sqrt[3]{390})^6 = 390^2 = 152100$.

Так как $140608 < 152100$, то $52^3 < 390^2$, и, следовательно, $\sqrt{52} < \sqrt[3]{390}$.

Умножим обе части последнего неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390}$.

Мы получили, что минимальное значение выражения $\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x$ больше, чем число в правой части неравенства. Таким образом, для любого $x$ выполняется:

$\sqrt{3} \sin x - 7 \cos x \ge -\sqrt{52} > -\sqrt[3]{390}$.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.