Номер 30.18, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.18. a) $ \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2} \sin 3x; $

б) $ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \cos 3x; $

в) $ \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos x; $

г) $ \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2 \sin 4x. $

а) Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла.
Выражение вида $a \sin \alpha - b \cos \alpha$ можно представить как $R \sin(\alpha - \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Для левой части $\sin 2x - \cos 2x$ имеем $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то выражение можно записать в виде:
$\sqrt{2}(\sin 2x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos 2x \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4})$.
Исходное уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 3x$
$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin 3x$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) Аргументы синусов равны с точностью до периода $2\pi k$:
$3x = 2x - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) Сумма аргументов синусов равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi k$:
$3x + (2x - \frac{\pi}{4}) = \pi + 2\pi k$
$5x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$5x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) Преобразуем левую часть уравнения $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\cos 3x$.
Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=\sqrt{3}, b=1$. $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то:
$2(\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{6})) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$.
Уравнение принимает вид:
$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = 2\cos 3x$
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos 3x$
Используя формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, получаем:
$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x)$.
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$
$4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$4x = \frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi k = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
2) $x - \frac{\pi}{6} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k$
$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi k$
$-2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{3} - \pi k$ или $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) Преобразуем левую часть уравнения $\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2}\cos x$.
Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=1, b=1$. $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x)$.
Представим выражение в виде косинуса разности:
$\sqrt{2}(\cos 5x \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin 5x \sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}\cos(5x - \frac{\pi}{4})$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos x$
$\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = \cos x$
Равенство $\cos \alpha = \cos \beta$ выполняется, когда $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$.
1) $5x - \frac{\pi}{4} = x + 2\pi k$
$4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
2) $5x - \frac{\pi}{4} = -x + 2\pi k$
$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) Преобразуем левую часть уравнения $\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 2\sin 4x$.
Используем метод вспомогательного угла. Здесь $a=1, b=\sqrt{3}$. $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
$\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 2(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$2(\sin 2x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos 2x \sin(\frac{\pi}{3})) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$.
Уравнение принимает вид:
$2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = 2\sin 4x$
$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin 4x$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $4x = 2x + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $4x = \pi - (2x + \frac{\pi}{3}) + 2\pi k$
$4x = \pi - 2x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$6x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.