Номер 30.14, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.14. При каком значении параметра a наибольшее значение функции $y = f(x)$ равно наименьшему значению функции $y = g(x)$:

a) $f(x) = 7 \sin 5x - 24 \cos 5x + a - 1, g(x) = 3 - 2 \cos 4x;$

б) $f(x) = 9 \sin (x - 2) + 12 \cos (x - 2) - 5 - a,$

$g(x) = 2 + 7 \sin (2x + 1)?$

а)

Для решения задачи необходимо найти наибольшее значение функции $f(x)$ и наименьшее значение функции $g(x)$, а затем приравнять их.

Найдем наибольшее значение функции $f(x) = 7 \sin 5x - 24 \cos 5x + a - 1$. Воспользуемся методом введения вспомогательного угла для преобразования выражения $A \sin \alpha + B \cos \alpha$ в $R \sin(\alpha + \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2 + B^2}$. Для части функции $7 \sin 5x - 24 \cos 5x$ имеем $A=7$ и $B=-24$. Амплитуда $R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. Это означает, что выражение $7 \sin 5x - 24 \cos 5x$ принимает значения в диапазоне $[-25, 25]$. Наибольшее значение этой части функции равно $25$. Таким образом, наибольшее значение всей функции $f(x)$ равно: $\max(f(x)) = 25 + a - 1 = 24 + a$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $g(x) = 3 - 2 \cos 4x$. Область значений функции косинуса $\cos 4x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Чтобы найти наименьшее значение $g(x)$, нужно из $3$ вычесть наибольшее возможное значение выражения $2 \cos 4x$. Наибольшее значение $2 \cos 4x$ равно $2 \cdot 1 = 2$ (когда $\cos 4x = 1$). Следовательно, наименьшее значение функции $g(x)$ равно: $\min(g(x)) = 3 - 2 = 1$.

Согласно условию, $\max(f(x)) = \min(g(x))$. Составим и решим уравнение: $24 + a = 1$ $a = 1 - 24$ $a = -23$

Ответ: $a = -23$.

б)

Действуем аналогично пункту а).

Найдем наибольшее значение функции $f(x) = 9 \sin(x - 2) + 12 \cos(x - 2) - 5 - a$. Рассмотрим часть функции $9 \sin(x - 2) + 12 \cos(x - 2)$. Амплитуда этого выражения равна $R = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. Диапазон значений выражения $9 \sin(x - 2) + 12 \cos(x - 2)$ — это отрезок $[-15, 15]$. Наибольшее значение этой части равно $15$. Следовательно, наибольшее значение всей функции $f(x)$ составляет: $\max(f(x)) = 15 - 5 - a = 10 - a$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $g(x) = 2 + 7 \sin(2x + 1)$. Область значений функции синуса $\sin(2x + 1)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наименьшее значение $g(x)$ достигается, когда $\sin(2x+1)$ принимает свое наименьшее значение, то есть $-1$. Наименьшее значение функции $g(x)$ равно: $\min(g(x)) = 2 + 7 \cdot (-1) = 2 - 7 = -5$.

Приравняем полученные значения согласно условию задачи: $\max(f(x)) = \min(g(x))$ $10 - a = -5$ $a = 10 + 5$ $a = 15$

Ответ: $a = 15$.