Номер 30.7, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.7. Найдите область значений функции:

a) $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x;$

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x;$

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2};$

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} - 15 \sin \frac{x}{3}.$

Для нахождения области значений функции вида $y = a \sin(kx) + b \cos(kx)$ или $y = a \cos(kx) + b \sin(kx)$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод показывает, что такая функция является гармоническим колебанием, и её область значений представляет собой отрезок $[-R, R]$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

а) $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x$

Данная функция является линейной комбинацией синуса и косинуса с одинаковым аргументом $2x$. Коэффициенты при тригонометрических функциях равны $a = 3$ и $b = -4$.

Найдем амплитуду $R$ колебания по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, функцию можно представить в виде $y = 5 \sin(2x + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Так как область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x + \phi) \le 1$, то для функции $y$ имеем:

$-1 \cdot 5 \le 5 \sin(2x + \phi) \le 1 \cdot 5$

$-5 \le y \le 5$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-5, 5]$.

Ответ: $E(y) = [-5; 5]$.

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = 12 \sin 3x + 5 \cos 3x$. Это линейная комбинация синуса и косинуса с аргументом $3x$. Коэффициенты: $a = 12$ и $b = 5$.

Найдем амплитуду $R$ по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Функцию можно представить в виде $y = 13 \sin(3x + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Область значений синуса $[-1, 1]$, поэтому область значений функции $y$ определяется неравенством:

$-1 \cdot 13 \le 13 \sin(3x + \phi) \le 1 \cdot 13$

$-13 \le y \le 13$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-13, 13]$.

Ответ: $E(y) = [-13; 13]$.

в) $y = 7 \sin\frac{x}{2} + 24 \cos\frac{x}{2}$

Данная функция является линейной комбинацией синуса и косинуса с аргументом $\frac{x}{2}$. Коэффициенты: $a = 7$ и $b = 24$.

Найдем амплитуду $R$ по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

Функцию можно представить в виде $y = 25 \sin(\frac{x}{2} + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Поскольку $-1 \le \sin(\frac{x}{2} + \phi) \le 1$, область значений для $y$ будет:

$-1 \cdot 25 \le 25 \sin(\frac{x}{2} + \phi) \le 1 \cdot 25$

$-25 \le y \le 25$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-25, 25]$.

Ответ: $E(y) = [-25; 25]$.

г) $y = 8 \cos\frac{x}{3} - 15 \sin\frac{x}{3}$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -15 \sin\frac{x}{3} + 8 \cos\frac{x}{3}$. Это линейная комбинация синуса и косинуса с аргументом $\frac{x}{3}$. Коэффициенты: $a = -15$ и $b = 8$.

Найдем амплитуду $R$ по формуле $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$R = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Функцию можно представить в виде $y = 17 \sin(\frac{x}{3} + \phi)$ для некоторого угла $\phi$.

Так как $-1 \le \sin(\frac{x}{3} + \phi) \le 1$, то для $y$ получаем:

$-1 \cdot 17 \le 17 \sin(\frac{x}{3} + \phi) \le 1 \cdot 17$

$-17 \le y \le 17$.

Следовательно, область значений функции – это отрезок $[-17, 17]$.

Ответ: $E(y) = [-17; 17]$.