Номер 30.9, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.9. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$;

б) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$;

в) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$;

г) $y = \sin x - \cos x$.

а) Для построения графика функции $y = \sqrt{2}(\sin x + \cos x)$ преобразуем выражение в скобках с помощью метода вспомогательного аргумента. Формула преобразования: $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \phi)$, где $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

В выражении $\sin x + \cos x$ коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Найдем амплитуду для этого выражения: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Тогда $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$.

Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то выражение можно записать в виде:

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим это обратно в исходную функцию:

$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

График функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая по оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{4}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в 2 раза.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ влево.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2}(\sin x + \cos x)$ является графиком функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $-\frac{\pi}{4}$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{4}$ относительно графика $y=2\sin x$).

б) Для функции $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Найдем амплитуду: $A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Преобразуем функцию:

$y = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\right)$.

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = 2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

График функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая по оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{6}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в 2 раза.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$ влево.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ является графиком функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $-\frac{\pi}{6}$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{6}$ относительно графика $y=2\sin x$).

в) Для функции $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$ коэффициенты $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$.

Найдем амплитуду: $A = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Преобразуем функцию:

$y = 2\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$.

Используем формулу синуса разности $\sin(x-\phi) = \sin x \cos \phi - \cos x \sin \phi$. Поскольку $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = 2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

График функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая по оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{3}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в 2 раза.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

Ответ: График функции $y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$ является графиком функции $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$. Это синусоида с амплитудой 2, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $\frac{\pi}{3}$ (сдвиг вправо на $\frac{\pi}{3}$ относительно графика $y=2\sin x$).

г) Для функции $y = \sin x - \cos x$ коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

Найдем амплитуду: $A = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Преобразуем функцию:

$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:

$y = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

График функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ — это синусоида с амплитудой $\sqrt{2}$, сдвинутая по оси абсцисс вправо на $\frac{\pi}{4}$. Его можно построить, выполнив следующие преобразования графика $y = \sin x$:
1. Растяжение вдоль оси ординат в $\sqrt{2}$ раз.
2. Сдвиг вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

Ответ: График функции $y = \sin x - \cos x$ является графиком функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Это синусоида с амплитудой $\sqrt{2}$, периодом $2\pi$ и сдвигом фазы на $\frac{\pi}{4}$ (сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$ относительно графика $y=\sqrt{2}\sin x$).