Номер 30.10, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

30.10. a) $y = \cos x - 2 \sin x - 1$;

30.10. б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x - 17|$;

30.10. в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} - 5$;

30.10. г) $y = |7 \sin 2x - 24 \cos 2x| + 15$.

а) $y = \cos x - 2 \sin x - 1$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции воспользуемся свойством выражения вида $a \sin t + b \cos t$. Область значений такого выражения есть отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Рассмотрим часть функции: $f(x) = \cos x - 2 \sin x$. В данном случае это выражение вида $b \cos x + a \sin x$ с коэффициентами $a=-2$ и $b=1$.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:$R = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Следовательно, область значений для выражения $\cos x - 2 \sin x$ есть отрезок $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Теперь найдем область значений для исходной функции $y = (\cos x - 2 \sin x) - 1$. Для этого нужно из границ найденного отрезка вычесть 1.

Наименьшее значение функции достигается, когда $\cos x - 2 \sin x = -\sqrt{5}$:$y_{наим} = -\sqrt{5} - 1$.

Наибольшее значение функции достигается, когда $\cos x - 2 \sin x = \sqrt{5}$:$y_{наиб} = \sqrt{5} - 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\sqrt{5} - 1$, наибольшее значение равно $\sqrt{5} - 1$.

б) $y = |5 \sin x + 12 \cos x - 17|$

Сначала найдем область значений выражения, стоящего под знаком модуля: $g(x) = 5 \sin x + 12 \cos x - 17$.

Рассмотрим часть выражения $5 \sin x + 12 \cos x$. Здесь $a=5$, $b=12$.

Амплитуда $R$ равна $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.

Таким образом, область значений для $5 \sin x + 12 \cos x$ есть отрезок $[-13, 13]$.

Теперь найдем область значений для $g(x) = (5 \sin x + 12 \cos x) - 17$.

Наименьшее значение $g(x)$ равно $-13 - 17 = -30$.

Наибольшее значение $g(x)$ равно $13 - 17 = -4$.

Итак, область значений $g(x)$ есть отрезок $[-30, -4]$.

Далее, найдем область значений функции $y = |g(x)|$. Поскольку все значения $g(x)$ отрицательны (от $-30$ до $-4$), то при взятии модуля $|g(x)|$ значения будут находиться в диапазоне от $|-4|$ до $|-30|$.

Наименьшее значение $y$ равно $|-4| = 4$.

Наибольшее значение $y$ равно $|-30| = 30$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $4$, наибольшее значение равно $30$.

в) $y = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2} - 5$

Рассмотрим выражение $f(x) = 3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}$. Обозначим $t = \frac{x}{2}$. Выражение примет вид $4 \sin t + 3 \cos t$.

Это выражение вида $a \sin t + b \cos t$, где $a=4, b=3$.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:$R = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Следовательно, область значений для выражения $3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}$ есть отрезок $[-5, 5]$.

Теперь найдем область значений для исходной функции $y = (3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}) - 5$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = -5 - 5 = -10$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 5 - 5 = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-10$, наибольшее значение равно $0$.

г) $y = |7 \sin 2x - 24 \cos 2x| + 15$

Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля: $g(x) = 7 \sin 2x - 24 \cos 2x$.

Это выражение вида $a \sin t + b \cos t$ (где $t=2x$), с коэффициентами $a=7$ и $b=-24$.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:$R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$.

Область значений для $g(x)$ есть отрезок $[-25, 25]$.

Теперь рассмотрим $h(x) = |g(x)| = |7 \sin 2x - 24 \cos 2x|$.

Поскольку $g(x)$ принимает все значения от $-25$ до $25$, включая $0$, то $|g(x)|$ будет принимать значения от $0$ (когда $g(x)=0$) до $25$ (когда $g(x)=\pm 25$). Область значений $h(x)$ есть отрезок $[0, 25]$.

Наконец, найдем область значений для исходной функции $y = h(x) + 15$. Для этого к границам отрезка $[0, 25]$ нужно прибавить 15.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = 0 + 15 = 15$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = 25 + 15 = 40$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $15$, наибольшее значение равно $40$.