Номер 30.4, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

30.4. Преобразуйте сумму в произведение:

a) $ \sin t + \cos t + 5 \cos \left(t + \frac{\pi}{4}\right); $

б) $ \sin t - \cos t + \sqrt{34} \cos \left(\frac{\pi}{4} - t\right). $

Рассмотрим выражение $\sin t + \cos t + 5 \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$.

Сначала преобразуем сумму первых двух слагаемых, $\sin t + \cos t$, используя метод введения вспомогательного угла. Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1.

$\sin t + \cos t = \sqrt{1^2+1^2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right) = \sqrt{2}\left(\cos t \cos\frac{\pi}{4} + \sin t \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим это преобразование в исходное выражение:

$\sqrt{2}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right) + 5\cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$.

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену переменной. Пусть $u = t - \frac{\pi}{4}$. Тогда $t + \frac{\pi}{4} = (u + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = u + \frac{\pi}{2}$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{2}\cos u + 5\cos\left(u + \frac{\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\cos\left(u + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin u$. Получаем:

$\sqrt{2}\cos u - 5\sin u$.

Это выражение вида $A\cos u + B\sin u$, где $A=\sqrt{2}$ и $B=-5$. Снова используем метод вспомогательного угла.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-5)^2} = \sqrt{2 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Вынесем $R$ за скобки: $3\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\cos u - \frac{5}{3\sqrt{3}}\sin u\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$ и $\sin\phi = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.

Тогда выражение в скобках становится $\cos\phi\cos u - \sin\phi\sin u$, что по формуле косинуса суммы равно $\cos(u+\phi)$.

Таким образом, мы получили произведение: $3\sqrt{3}\cos(u+\phi)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $t$, подставив $u = t - \frac{\pi}{4}$:

$3\sqrt{3}\cos\left(t - \frac{\pi}{4} + \phi\right)$.

Ответ: $3\sqrt{3}\cos\left(t - \frac{\pi}{4} + \phi\right)$, где $\phi$ — вспомогательный угол, для которого $\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$ и $\sin\phi = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.

Рассмотрим выражение $\sin t - \cos t + \sqrt{34} \cos\left(\frac{\pi}{4} - t\right)$.

Преобразуем первые два слагаемых, $\sin t - \cos t$, используя метод вспомогательного угла. Коэффициенты при синусе и косинусе равны 1 и -1.

$\sin t - \cos t = \sqrt{1^2+(-1)^2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right) = \sqrt{2}\left(\sin t \cos\frac{\pi}{4} - \cos t \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для третьего слагаемого используем свойство четности функции косинус: $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{4} - t\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{4} - t\right)\right) = \cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\sqrt{2}\sin\left(t - \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{34}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$.

Оба слагаемых имеют одинаковый аргумент. Обозначим его $u = t - \frac{\pi}{4}$. Выражение примет вид:

$\sqrt{2}\sin u + \sqrt{34}\cos u$.

Это выражение вида $A\sin u + B\cos u$, где $A=\sqrt{2}$ и $B=\sqrt{34}$. Применим метод вспомогательного угла.

Найдем амплитуду $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{34})^2} = \sqrt{2 + 34} = \sqrt{36} = 6$.

Вынесем $R$ за скобки: $6\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\sin u + \frac{\sqrt{34}}{6}\cos u\right)$.

Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{6}$ и $\cos\phi = \frac{\sqrt{34}}{6}$.

Тогда выражение в скобках можно записать как $\sin u \sin\phi + \cos u \cos\phi$, что по формуле косинуса разности равно $\cos(u-\phi)$.

Таким образом, мы получили произведение: $6\cos(u-\phi)$.

Возвращаемся к исходной переменной $t$, подставляя $u = t - \frac{\pi}{4}$:

$6\cos\left(t - \frac{\pi}{4} - \phi\right)$.

Ответ: $6\cos\left(t - \frac{\pi}{4} - \phi\right)$, где $\phi$ — вспомогательный угол, для которого $\cos\phi = \frac{\sqrt{34}}{6}$ и $\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{6}$.