Номер 29.30, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график уравнения:

29.30. a) $2 \sin (x + y) \cos y = \sin x;$

б) $2 \cos (x + y) \cos x = \cos y.$

а) $2 \sin(x + y) \cos y = \sin x$

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (формула произведения синуса на косинус):

$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)$

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = x + y$ и $\beta = y$:

$2 \sin(x + y) \cos y = \sin(x + y - y) + \sin(x + y + y) = \sin x + \sin(x + 2y)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\sin x + \sin(x + 2y) = \sin x$

Вычтем $\sin x$ из обеих частей уравнения:

$\sin(x + 2y) = 0$

Уравнение $\sin t = 0$ имеет решения $t = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно:

$x + 2y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в явном виде:

$2y = -x + k\pi$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Это уравнение описывает бесконечное семейство параллельных прямых. Все прямые имеют угловой коэффициент (наклон) равный $-\frac{1}{2}$ и пересекают ось ординат в точках $\frac{k\pi}{2}$ (например, в точках $...; -\pi; -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; \pi; ...$).

Ответ: Графиком уравнения является семейство параллельных прямых, заданных формулой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos(x + y) \cos x = \cos y$

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = x + y$ и $\beta = x$:

$2 \cos(x + y) \cos x = \cos(x + y - x) + \cos(x + y + x) = \cos y + \cos(2x + y)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\cos y + \cos(2x + y) = \cos y$

Вычтем $\cos y$ из обеих частей уравнения:

$\cos(2x + y) = 0$

Уравнение $\cos t = 0$ имеет решения $t = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно:

$2x + y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в явном виде:

$y = -2x + \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Это уравнение описывает бесконечное семейство параллельных прямых. Все прямые имеют угловой коэффициент (наклон) равный $-2$ и пересекают ось ординат в точках $\frac{\pi}{2} + k\pi$ (например, в точках $...; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; ...$).

Ответ: Графиком уравнения является семейство параллельных прямых, заданных формулой $y = -2x + \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.