Номер 29.27, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.27. Решите систему уравнений:

а) Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2} \\ 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3} \end{cases} $
Для решения системы применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. В частности, формулу $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{x+y}{2}$ и $\beta = \frac{x-y}{2}$. Тогда $\alpha+\beta = x$ и $\alpha-\beta = y$.
Применим это к первому уравнению:
$\frac{1}{2}(\sin x + \sin y) = \frac{1}{2} \implies \sin x + \sin y = 1$.
Второе уравнение $2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}$ можно записать как $2 \sin \beta \cos \alpha = \frac{1}{3}$. Используя ту же формулу, но с учетом, что $\beta-\alpha = -y$, получим:
$2 \cdot \frac{1}{2}(\sin(\beta+\alpha) + \sin(\beta-\alpha)) = \frac{1}{3} \implies \sin x + \sin(-y) = \frac{1}{3} \implies \sin x - \sin y = \frac{1}{3}$.
Таким образом, исходная система сводится к системе линейных уравнений относительно $\sin x$ и $\sin y$:
$\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \sin x - \sin y = \frac{1}{3} \end{cases}$
Сложим два уравнения: $2 \sin x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, откуда $\sin x = \frac{2}{3}$.
Вычтем второе уравнение из первого: $2 \sin y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, откуда $\sin y = \frac{1}{3}$.
Решениями этих простейших тригонометрических уравнений являются:
$x = (-1)^k \arcsin\frac{2}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$y = (-1)^n \arcsin\frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\frac{2}{3} + \pi k, y = (-1)^n \arcsin\frac{1}{3} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим данную систему уравнений:
$\begin{cases} \cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{4} \\ \sin(x+y)\sin(x-y) = \frac{3}{4} \end{cases}$
Для решения системы применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$
Пусть $\alpha = x+y$ и $\beta = x-y$. Тогда $\alpha+\beta = 2x$ и $\alpha-\beta = 2y$.
Применим это к первому уравнению:
$\frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2y)) = \frac{1}{4} \implies \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$.
Применим ко второму уравнению:
$\frac{1}{2}(\cos(2y) - \cos(2x)) = \frac{3}{4} \implies \cos(2y) - \cos(2x) = \frac{3}{2}$.
Таким образом, исходная система сводится к системе линейных уравнений относительно $\cos(2x)$ и $\cos(2y)$:
$\begin{cases} \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2} \\ -\cos(2x) + \cos(2y) = \frac{3}{2} \end{cases}$
Сложим два уравнения: $2 \cos(2y) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$, откуда $\cos(2y) = 1$.
Вычтем второе уравнение из первого: $2 \cos(2x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$, откуда $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
Решим полученные уравнения:
Из $\cos(2y) = 1$ следует $2y = 2\pi n$, то есть $y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$ следует $2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, y = \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.