Номер 29.26, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.26. Решите неравенство:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{8} + x\right) \sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) < 0;$

б) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) \ge 0;$

в) $\sin\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(x + \frac{5\pi}{12}\right) \le 0;$

г) $\cos\frac{3x + \pi}{6} \cos\frac{3x - \pi}{6} > 0.$

а) $ \sin(\frac{\pi}{8} + x) \sin(\frac{\pi}{8} - x) < 0 $

Для решения данного неравенства воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{8} + x $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} - x $. Тогда:

$ \alpha - \beta = (\frac{\pi}{8} + x) - (\frac{\pi}{8} - x) = 2x $

$ \alpha + \beta = (\frac{\pi}{8} + x) + (\frac{\pi}{8} - x) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $

Подставим эти значения в формулу и в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(\frac{\pi}{4})) < 0 $

$ \cos(2x) - \cos(\frac{\pi}{4}) < 0 $

$ \cos(2x) < \cos(\frac{\pi}{4}) $

$ \cos(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решим неравенство $ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ для $ t = 2x $. Используя тригонометрическую окружность, находим, что решением является интервал:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Теперь вернемся к переменной $x$:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k $

Разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{\pi}{8} + \pi k < x < \frac{7\pi}{8} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{7\pi}{8} + \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) \ge 0 $

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} $ и $ \beta = \frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} $. Тогда:

$ \alpha + \beta = (\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) + (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

$ \alpha - \beta = (\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) - (\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = x $

Подставим эти значения в неравенство:

$ \frac{1}{2}(\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(x)) \ge 0 $

$ \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(x) \ge 0 $

$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(x) \ge 0 $

$ \sin(x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Решая это неравенство с помощью тригонометрической окружности, находим:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin(x - \frac{5\pi}{12}) \cos(x + \frac{5\pi}{12}) \le 0 $

Используем формулу $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Пусть $ \alpha = x - \frac{5\pi}{12} $ и $ \beta = x + \frac{5\pi}{12} $. Тогда:

$ \alpha + \beta = (x - \frac{5\pi}{12}) + (x + \frac{5\pi}{12}) = 2x $

$ \alpha - \beta = (x - \frac{5\pi}{12}) - (x + \frac{5\pi}{12}) = -\frac{10\pi}{12} = -\frac{5\pi}{6} $

Подставим в неравенство:

$ \frac{1}{2}(\sin(2x) + \sin(-\frac{5\pi}{6})) \le 0 $

Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $.

$ \sin(2x) - \frac{1}{2} \le 0 $

$ \sin(2x) \le \frac{1}{2} $

Решим неравенство $ \sin t \le \frac{1}{2} $ для $ t = 2x $. Решением является объединение промежутков:

$ \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Подставляем $ t = 2x $:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 2x \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k $

Делим на 2:

$ \frac{5\pi}{12} + \pi k \le x \le \frac{13\pi}{12} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in [\frac{5\pi}{12} + \pi k; \frac{13\pi}{12} + \pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos\frac{3x + \pi}{6} \cos\frac{3x - \pi}{6} > 0 $

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{3x + \pi}{6} $ и $ \beta = \frac{3x - \pi}{6} $. Тогда:

$ \alpha - \beta = \frac{3x + \pi}{6} - \frac{3x - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

$ \alpha + \beta = \frac{3x + \pi}{6} + \frac{3x - \pi}{6} = \frac{6x}{6} = x $

Подставим в неравенство:

$ \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x)) > 0 $

$ \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x) > 0 $

$ \frac{1}{2} + \cos(x) > 0 $

$ \cos(x) > -\frac{1}{2} $

Решая это неравенство с помощью тригонометрической окружности, находим:

$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.