Номер 29.21, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

29.21. а) $\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 0.25 = 0;$

б) $\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1.$

а) Исходное уравнение: $ \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \frac{\pi}{3}) - 0,25 = 0 $.
Перепишем уравнение, перенеся 0,25 в правую часть:
$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \frac{\pi}{3}) = 0,25 $
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $.
В нашем случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{3} $.
Тогда $ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{3}) + (x - \frac{\pi}{3}) = 2x $.
И $ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{3}) - (x - \frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} $.
Подставим эти значения в формулу и в уравнение:
$ \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{2\pi}{3})) = 0,25 $
Представим 0,25 в виде дроби $ \frac{1}{4} $ и подставим значение $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $:
$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ \cos(2x) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
$ \cos(2x) = 1 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $ \cos(y) = 1 $ имеет вид $ y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x $:
$ 2x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin(x + \frac{\pi}{3}) \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 1 $.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.
В нашем случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{6} $.
Найдем сумму и разность углов:
$ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{3}) + (x - \frac{\pi}{6}) = 2x + \frac{2\pi - \pi}{6} = 2x + \frac{\pi}{6} $
$ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{3}) - (x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $
Подставим полученные выражения в уравнение:
$ \frac{1}{2}(\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{2})) = 1 $
Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $:
$ \frac{1}{2}(\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1) = 1 $
Умножим обе части на 2:
$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1 = 2 $
$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = 1 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $ \sin(y) = 1 $ имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x + \frac{\pi}{6} $:
$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $ 2x $:
$ 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.