Номер 29.14, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.14. a) $2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ - \sin 36^\circ$;

б) $2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ + \sin 163^\circ$.

а) $2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ - \sin 36^\circ$

Для решения данного выражения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$

Применим эту формулу для члена $2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ$, где $\alpha = 87^\circ$ и $\beta = 57^\circ$:

$2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ = \sin(87^\circ + 57^\circ) + \sin(87^\circ - 57^\circ) = \sin 144^\circ + \sin 30^\circ$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\sin 144^\circ + \sin 30^\circ) - \sin 36^\circ = \sin 144^\circ + \sin 30^\circ - \sin 36^\circ$

Используем формулу приведения для $\sin 144^\circ$:

$\sin 144^\circ = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$

Подставим это значение в наше выражение:

$\sin 36^\circ + \sin 30^\circ - \sin 36^\circ$

Сокращаем $\sin 36^\circ$ и $-\sin 36^\circ$:

$\sin 30^\circ$

Значение $\sin 30^\circ$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ + \sin 163^\circ$

Для решения данного выражения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$

Применим эту формулу для члена $2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ$, где $\alpha = 59^\circ$ и $\beta = 14^\circ$:

$2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ = \cos(59^\circ - 14^\circ) - \cos(59^\circ + 14^\circ) = \cos 45^\circ - \cos 73^\circ$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\cos 45^\circ - \cos 73^\circ) + \sin 163^\circ = \cos 45^\circ - \cos 73^\circ + \sin 163^\circ$

Используем формулу приведения для $\sin 163^\circ$. Угол $163^\circ$ можно представить как $90^\circ + 73^\circ$:

$\sin 163^\circ = \sin(90^\circ + 73^\circ) = \cos 73^\circ$

Подставим это значение в наше выражение:

$\cos 45^\circ - \cos 73^\circ + \cos 73^\circ$

Сокращаем $-\cos 73^\circ$ и $\cos 73^\circ$:

$\cos 45^\circ$

Значение $\cos 45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$