Страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

29.7. a) $2 \sin t \sin 2t + \cos 3t = \cos t;$

б) $\sin \alpha - 2 \sin \left(\frac{\alpha}{2} - 15^{\circ}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} + 15^{\circ}\right) = \frac{1}{2}.$

а) Докажем тождество $2 \sin t \sin 2t + \cos 3t = \cos t$.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$
Применим эту формулу к выражению $2 \sin t \sin 2t$, где $x=2t$ и $y=t$:
$2 \sin 2t \sin t = \cos(2t - t) - \cos(2t + t) = \cos t - \cos 3t$
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$2 \sin t \sin 2t + \cos 3t = (\cos t - \cos 3t) + \cos 3t$
Упростим выражение, сократив $-\cos 3t$ и $+\cos 3t$:
$\cos t - \cos 3t + \cos 3t = \cos t$
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $\cos t = \cos t$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $\sin \alpha - 2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \frac{1}{2}$.
Преобразуем левую часть равенства. Рассмотрим второе слагаемое $2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)$.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:
$2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$
Применим эту формулу, где $x = \frac{\alpha}{2} - 15^\circ$ и $y = \frac{\alpha}{2} + 15^\circ$:
$2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \sin((\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) + (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)) + \sin((\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) - (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ))$
Упростим аргументы синусов:
$\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} - 15^\circ + 15^\circ) + \sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} - 15^\circ - 15^\circ) = \sin(\alpha) + \sin(-30^\circ)$
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, $2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \sin(\alpha) - \frac{1}{2}$.
Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:
$\sin \alpha - ( \sin(\alpha) - \frac{1}{2} )$
Раскроем скобки и упростим:
$\sin \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Тождество доказано.

29.8. a) $\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1}{4}$

б) $4 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = 3 - 4 \sin^2 x$

а)

Рассмотрим уравнение $ \sin^2 x + \cos(\frac{\pi}{3} - x) \cos(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{1}{4} $.

Для преобразования произведения косинусов воспользуемся формулой $ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x $.

Получаем:

$ \cos(\frac{\pi}{3} - x)\cos(\frac{\pi}{3} + x) = \cos^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 x $.

Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, следовательно $ \cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $.

Подставим это значение в преобразованное выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{3} - x)\cos(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{1}{4} - \sin^2 x $.

Теперь подставим полученный результат в исходное уравнение:

$ \sin^2 x + (\frac{1}{4} - \sin^2 x) = \frac{1}{4} $.

Упрощая левую часть, получаем верное равенство:

$ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

Так как мы получили тождество, верное для любых значений $ x $, решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: $ x \in \mathbb{R} $.

б)

Рассмотрим уравнение $ 4\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = 3 - 4\sin^2 x $.

Преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулой $ \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x $.

Получаем:

$ \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 x $.

Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно $ \sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Подставим это значение в левую часть исходного уравнения:

$ 4\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = 4(\frac{3}{4} - \sin^2 x) = 3 - 4\sin^2 x $.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$ 3 - 4\sin^2 x = 3 - 4\sin^2 x $.

Мы получили тождество, верное для любых значений $ x $. Следовательно, решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: $ x \in \mathbb{R} $.

29.9. a) $4 \sin x \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin 3x;$

б) $\operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \operatorname{tg} 3x.$

Рассмотрим левую часть уравнения: $4 \sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x)$.

Для преобразования произведения $\sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x)$ воспользуемся формулой произведения синусов, которая является следствием формул синуса суммы и разности: $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$. Получаем:

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2 x = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного уравнения:

$4 \sin x (\frac{3}{4} - \sin^2 x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Выражение $3\sin x - 4\sin^3 x$ является формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна правой части: $\sin 3x = \sin 3x$.

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для всех значений $x$, при которых определены все функции в исходном уравнении. Функция $y = \sin x$ определена для всех действительных чисел. Следовательно, решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Функция $y = \tan \alpha$ определена, если ее аргумент $\alpha$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$, так как $\cos \alpha \neq 0$.

1. Для $\tan x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n_1, n_1 \in \mathbb{Z}$.
2. Для $\tan(\frac{\pi}{3} - x)$: $\frac{\pi}{3} - x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n_2 \implies x \neq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} - \pi n_2 \implies x \neq -\frac{\pi}{6} - \pi n_2, n_2 \in \mathbb{Z}$.
3. Для $\tan(\frac{\pi}{3} + x)$: $\frac{\pi}{3} + x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n_3 \implies x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n_3 \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n_3, n_3 \in \mathbb{Z}$.
4. Для $\tan(3x)$: $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Последнее условие, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, включает в себя все предыдущие. Например, при $k=1$ получаем $x \neq \frac{\pi}{2}$, при $k=-1$ получаем $x \neq -\frac{\pi}{6}$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности: $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$ и значением $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

$\tan(\frac{\pi}{3} - x) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} - \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{3}\tan x} = \frac{\sqrt{3} - \tan x}{1 + \sqrt{3}\tan x}$

$\tan(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} + \tan x}{1 - \tan\frac{\pi}{3}\tan x} = \frac{\sqrt{3} + \tan x}{1 - \sqrt{3}\tan x}$

Перемножим эти два выражения:

$\tan(\frac{\pi}{3} - x)\tan(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{(\sqrt{3} - \tan x)(\sqrt{3} + \tan x)}{(1 + \sqrt{3}\tan x)(1 - \sqrt{3}\tan x)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - \tan^2 x}{1^2 - ( \sqrt{3}\tan x)^2} = \frac{3 - \tan^2 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

Теперь умножим результат на $\tan x$:

$\tan x \cdot \frac{3 - \tan^2 x}{1 - 3\tan^2 x} = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

Полученное выражение является известной формулой тангенса тройного угла: $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения тождественно равна правой: $\tan 3x = \tan 3x$.

Это равенство верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

29.10. $\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \cos 75^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha.$

29.10.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ), чтобы показать, что она равна правой части (ПЧ), то есть $sin(2\alpha)$.

Исходное выражение: $cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) - cos 75^\circ sin(75^\circ - 2\alpha)$.

1. Преобразуем первые два слагаемых, используя формулу понижения степени $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$cos^2(45^\circ - \alpha) = \frac{1 + cos(2(45^\circ - \alpha))}{2} = \frac{1 + cos(90^\circ - 2\alpha)}{2}$.

Используя формулу приведения $cos(90^\circ - \beta) = sin(\beta)$, получаем:

$\frac{1 + cos(90^\circ - 2\alpha)}{2} = \frac{1 + sin(2\alpha)}{2}$.

Аналогично для второго слагаемого:

$cos^2(60^\circ + \alpha) = \frac{1 + cos(2(60^\circ + \alpha))}{2} = \frac{1 + cos(120^\circ + 2\alpha)}{2}$.

Теперь разность первых двух слагаемых равна:

$cos^2(45^\circ - \alpha) - cos^2(60^\circ + \alpha) = \frac{1 + sin(2\alpha)}{2} - \frac{1 + cos(120^\circ + 2\alpha)}{2} = \frac{sin(2\alpha) - cos(120^\circ + 2\alpha)}{2}$.

2. Преобразуем третье слагаемое: $-cos 75^\circ sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Сначала используем формулу приведения: $cos 75^\circ = cos(90^\circ - 15^\circ) = sin 15^\circ$.

Выражение принимает вид: $-sin 15^\circ sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Применим формулу произведения синусов $sin A sin B = \frac{1}{2}(cos(A-B) - cos(A+B))$:

$-sin 15^\circ sin(75^\circ - 2\alpha) = -\frac{1}{2}[cos(15^\circ - (75^\circ - 2\alpha)) - cos(15^\circ + 75^\circ - 2\alpha)]$.

$= -\frac{1}{2}[cos(-60^\circ + 2\alpha) - cos(90^\circ - 2\alpha)]$.

Используя свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$ и формулу приведения $cos(90^\circ - y) = sin(y)$, получаем:

$= -\frac{1}{2}[cos(60^\circ - 2\alpha) - sin(2\alpha)] = \frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(60^\circ - 2\alpha)$.

3. Теперь сложим преобразованные части.

ЛЧ = $(\frac{sin(2\alpha) - cos(120^\circ + 2\alpha)}{2}) + (\frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(60^\circ - 2\alpha))$.

ЛЧ = $\frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(120^\circ + 2\alpha) + \frac{1}{2}sin(2\alpha) - \frac{1}{2}cos(60^\circ - 2\alpha)$.

ЛЧ = $sin(2\alpha) - \frac{1}{2}[cos(120^\circ + 2\alpha) + cos(60^\circ - 2\alpha)]$.

4. Преобразуем сумму косинусов в скобках по формуле $cos X + cos Y = 2 cos\frac{X+Y}{2} cos\frac{X-Y}{2}$.

$cos(120^\circ + 2\alpha) + cos(60^\circ - 2\alpha) = 2 cos(\frac{120^\circ + 2\alpha + 60^\circ - 2\alpha}{2}) cos(\frac{120^\circ + 2\alpha - (60^\circ - 2\alpha)}{2})$.

$= 2 cos(\frac{180^\circ}{2}) cos(\frac{60^\circ + 4\alpha}{2}) = 2 cos(90^\circ) cos(30^\circ + 2\alpha)$.

Так как $cos(90^\circ) = 0$, то всё выражение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot cos(30^\circ + 2\alpha) = 0$.

5. Подставим полученный результат обратно в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $sin(2\alpha) - \frac{1}{2}[0] = sin(2\alpha)$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна правой части: $sin(2\alpha) = sin(2\alpha)$.

Ответ: Тождество доказано.

29.11. a) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \dots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}};$

б) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \dots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$

а)

Для нахождения суммы $S_n = \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$ умножим обе части этого равенства на $2 \sin \frac{x}{2}$. Мы предполагаем, что $\sin \frac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq 2k\pi$ для любого целого $k$.

$2S_n \sin \frac{x}{2} = 2 \sin x \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 2x \sin \frac{x}{2} + \dots + 2 \sin nx \sin \frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части равенства. Общий член суммы имеет вид $2 \sin kx \sin \frac{x}{2}$:

$2 \sin kx \sin \frac{x}{2} = \cos\left(kx - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(kx + \frac{x}{2}\right) = \cos\frac{(2k-1)x}{2} - \cos\frac{(2k+1)x}{2}$.

Теперь наша сумма принимает вид:

$2S_n \sin \frac{x}{2} = \left(\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2}\right) + \left(\cos\frac{3x}{2} - \cos\frac{5x}{2}\right) + \dots + \left(\cos\frac{(2n-1)x}{2} - \cos\frac{(2n+1)x}{2}\right)$.

Это телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первый и последний члены:

$2S_n \sin \frac{x}{2} = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{(2n+1)x}{2}$.

Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{2}$ и $\beta = \frac{(2n+1)x}{2}$. Тогда:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{(2n+1)x}{2}}{2} = \frac{(2n+2)x}{4} = \frac{(n+1)x}{2}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{x}{2} - \frac{(2n+1)x}{2}}{2} = \frac{-2nx}{4} = -\frac{nx}{2}$

Подставляя эти значения, получаем:

$\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{(2n+1)x}{2} = -2 \sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\left(-\frac{nx}{2}\right) = 2 \sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Таким образом, мы имеем:

$2S_n \sin \frac{x}{2} = 2 \sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Разделив обе части на $2 \sin \frac{x}{2}$, мы получаем итоговую формулу:

$S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$.

Ответ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \dots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.

б)

Для нахождения суммы $C_n = \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$ используем аналогичный подход. Умножим обе части равенства на $2 \sin \frac{x}{2}$ (при условии, что $\sin \frac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq 2k\pi$ для любого целого $k$).

$2C_n \sin \frac{x}{2} = 2 \cos x \sin \frac{x}{2} + 2 \cos 2x \sin \frac{x}{2} + \dots + 2 \cos nx \sin \frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинуса и синуса в разность синусов: $2 \cos A \sin B = \sin(A + B) - \sin(A - B)$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части. Общий член суммы имеет вид $2 \cos kx \sin \frac{x}{2}$:

$2 \cos kx \sin \frac{x}{2} = \sin\left(kx + \frac{x}{2}\right) - \sin\left(kx - \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{(2k+1)x}{2} - \sin\frac{(2k-1)x}{2}$.

Теперь наша сумма принимает вид:

$2C_n \sin \frac{x}{2} = \left(\sin\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) + \left(\sin\frac{5x}{2} - \sin\frac{3x}{2}\right) + \dots + \left(\sin\frac{(2n+1)x}{2} - \sin\frac{(2n-1)x}{2}\right)$.

Это также телескопическая сумма. После сокращения промежуточных членов остаются только последний и первый (с обратным знаком):

$2C_n \sin \frac{x}{2} = \sin\frac{(2n+1)x}{2} - \sin\frac{x}{2}$.

Теперь применим формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Пусть $\alpha = \frac{(2n+1)x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$. Тогда:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{(2n+1)x}{2} + \frac{x}{2}}{2} = \frac{(2n+2)x}{4} = \frac{(n+1)x}{2}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{(2n+1)x}{2} - \frac{x}{2}}{2} = \frac{2nx}{4} = \frac{nx}{2}$

Подставляя эти значения, получаем:

$\sin\frac{(2n+1)x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 2 \cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Таким образом, мы имеем:

$2C_n \sin \frac{x}{2} = 2 \cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Разделив обе части на $2 \sin \frac{x}{2}$, мы получаем итоговую формулу:

$C_n = \frac{\cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$.

Ответ: $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \dots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.

Вычислите:

29.12. a) $ \cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ; $

б) $ \sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ .$

а)

Рассмотрим выражение: $ \cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ $.

Для упрощения этого выражения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
1. Формула понижения степени для косинуса: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
2. Формула преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим формулу понижения степени к первым двум слагаемым:
$ \cos^2 3^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} $
$ \cos^2 1^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 2^\circ}{2} $

Применим формулу преобразования произведения в сумму к третьему слагаемому:
$ \cos 4^\circ \cos 2^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ - 2^\circ) + \cos(4^\circ + 2^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 2^\circ + \cos 6^\circ) $

Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$ (\frac{1 + \cos 6^\circ}{2}) + (\frac{1 + \cos 2^\circ}{2}) - \frac{1}{2}(\cos 2^\circ + \cos 6^\circ) $

Раскроем скобки и упростим:
$ \frac{1}{2} + \frac{\cos 6^\circ}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 6^\circ}{2} $

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$ (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{\cos 6^\circ}{2} - \frac{\cos 6^\circ}{2}) + (\frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 2^\circ}{2}) = 1 + 0 + 0 = 1 $

Ответ: 1

б)

Рассмотрим выражение: $ \sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ $.

Представим аргументы косинусов через углы $ 60^\circ $ и $ 10^\circ $:
$ \cos 50^\circ = \cos(60^\circ - 10^\circ) $
$ \cos 70^\circ = \cos(60^\circ + 10^\circ) $

Тогда произведение $ \cos 50^\circ \cos 70^\circ $ можно переписать как $ \cos(60^\circ - 10^\circ) \cos(60^\circ + 10^\circ) $.

Воспользуемся формулой произведения косинусов разности и суммы углов: $ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $.
В нашем случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $.
$ \cos(60^\circ - 10^\circ) \cos(60^\circ + 10^\circ) = \cos^2 60^\circ - \sin^2 10^\circ $

Мы знаем, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Подставим это значение:
$ \cos^2 60^\circ - \sin^2 10^\circ = (\frac{1}{2})^2 - \sin^2 10^\circ = \frac{1}{4} - \sin^2 10^\circ $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \sin^2 10^\circ + (\frac{1}{4} - \sin^2 10^\circ) $

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
$ \sin^2 10^\circ + \frac{1}{4} - \sin^2 10^\circ = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $

29.13. a) $ \frac{1}{2 \sin 10^{\circ}} - 2 \sin 70^{\circ} $

б) $ \frac{\operatorname{tg} 60^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} + 4 \cos 100^{\circ} $

а) Упростим выражение $ \frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \sin 70^\circ $.
Используем формулу приведения $\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$. Выражение принимает вид:
$ \frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \cos 20^\circ $
Приведем к общему знаменателю $2 \sin 10^\circ$:
$ \frac{1 - 4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ}{2 \sin 10^\circ} $
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ = 2(2 \sin 10^\circ \cos 20^\circ) = 2(\sin(10^\circ+20^\circ) + \sin(10^\circ-20^\circ)) = 2(\sin 30^\circ + \sin(-10^\circ))$.
Так как $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$2(\frac{1}{2} - \sin 10^\circ) = 1 - 2 \sin 10^\circ$.
Подставим это выражение в числитель:
$1 - (1 - 2 \sin 10^\circ) = 1 - 1 + 2 \sin 10^\circ = 2 \sin 10^\circ$.
Таким образом, вся дробь равна:
$\frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

б) Упростим выражение $ \frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ $.
Подставим значение $ \tg 60^\circ = \sqrt{3} $:
$ \frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ $
Приведем к общему знаменателю $ \sin 40^\circ $:
$ \frac{\sqrt{3} + 4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} $
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинуса на синус: $2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ = 2(2 \cos 100^\circ \sin 40^\circ) = 2(\sin(100^\circ + 40^\circ) - \sin(100^\circ - 40^\circ)) = 2(\sin 140^\circ - \sin 60^\circ)$.
Применим формулу приведения $\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$ и подставим значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$2(\sin 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}$.
Подставим это выражение в числитель:
$\sqrt{3} + (2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}) = 2 \sin 40^\circ$.
Таким образом, вся дробь равна:
$\frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 2$.
Ответ: 2.

29.14. a) $2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ - \sin 36^\circ$;

б) $2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ + \sin 163^\circ$.

а) $2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ - \sin 36^\circ$

Для решения данного выражения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$

Применим эту формулу для члена $2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ$, где $\alpha = 87^\circ$ и $\beta = 57^\circ$:

$2 \sin 87^\circ \cos 57^\circ = \sin(87^\circ + 57^\circ) + \sin(87^\circ - 57^\circ) = \sin 144^\circ + \sin 30^\circ$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\sin 144^\circ + \sin 30^\circ) - \sin 36^\circ = \sin 144^\circ + \sin 30^\circ - \sin 36^\circ$

Используем формулу приведения для $\sin 144^\circ$:

$\sin 144^\circ = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$

Подставим это значение в наше выражение:

$\sin 36^\circ + \sin 30^\circ - \sin 36^\circ$

Сокращаем $\sin 36^\circ$ и $-\sin 36^\circ$:

$\sin 30^\circ$

Значение $\sin 30^\circ$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ + \sin 163^\circ$

Для решения данного выражения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$

Применим эту формулу для члена $2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ$, где $\alpha = 59^\circ$ и $\beta = 14^\circ$:

$2 \sin 59^\circ \sin 14^\circ = \cos(59^\circ - 14^\circ) - \cos(59^\circ + 14^\circ) = \cos 45^\circ - \cos 73^\circ$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\cos 45^\circ - \cos 73^\circ) + \sin 163^\circ = \cos 45^\circ - \cos 73^\circ + \sin 163^\circ$

Используем формулу приведения для $\sin 163^\circ$. Угол $163^\circ$ можно представить как $90^\circ + 73^\circ$:

$\sin 163^\circ = \sin(90^\circ + 73^\circ) = \cos 73^\circ$

Подставим это значение в наше выражение:

$\cos 45^\circ - \cos 73^\circ + \cos 73^\circ$

Сокращаем $-\cos 73^\circ$ и $\cos 73^\circ$:

$\cos 45^\circ$

Значение $\cos 45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

29.15. a) $\sin 12^\circ \cos 72^\circ - \cos 33^\circ \cos 27^\circ$;

б) $2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ - 2 \sin 31^\circ \sin 14^\circ - 2 \sin 14^\circ \sin 3^\circ$.

$\sin 12^\circ \cos 72^\circ - \cos 33^\circ \cos 27^\circ$

Для решения этой задачи мы воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и формулами преобразования произведения в сумму.

1. Сначала преобразуем $\cos 72^\circ$ с помощью формулы приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sin 12^\circ \sin 18^\circ - \cos 33^\circ \cos 27^\circ$.

2. Применим формулы преобразования произведения в сумму:

$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $

Для первого слагаемого ($\alpha = 18^\circ, \beta = 12^\circ$):

$\sin 12^\circ \sin 18^\circ = \frac{1}{2}(\cos(18^\circ - 12^\circ) - \cos(18^\circ + 12^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 6^\circ - \cos 30^\circ)$.

Для второго слагаемого ($\alpha = 33^\circ, \beta = 27^\circ$):

$\cos 33^\circ \cos 27^\circ = \frac{1}{2}(\cos(33^\circ - 27^\circ) + \cos(33^\circ + 27^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 6^\circ + \cos 60^\circ)$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\frac{1}{2}(\cos 6^\circ - \cos 30^\circ) - \frac{1}{2}(\cos 6^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos 6^\circ - \frac{1}{2}\cos 30^\circ - \frac{1}{2}\cos 6^\circ - \frac{1}{2}\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}(\cos 30^\circ + \cos 60^\circ)$.

4. Используем табличные значения $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = -\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$.

$2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ - 2 \sin 31^\circ \sin 14^\circ - 2 \sin 14^\circ \sin 3^\circ$

1. Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $-2 \sin 14^\circ$:

$2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ - 2 \sin 14^\circ (\sin 31^\circ + \sin 3^\circ)$.

2. Преобразуем отдельно каждую часть выражения, используя формулы преобразования.

Для первого слагаемого используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$.

$2 \cos 28^\circ \cos 17^\circ = \cos(28^\circ + 17^\circ) + \cos(28^\circ - 17^\circ) = \cos 45^\circ + \cos 11^\circ$.

3. Для выражения в скобках применим формулу преобразования суммы синусов в произведение: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\sin 31^\circ + \sin 3^\circ = 2 \sin\frac{31^\circ+3^\circ}{2}\cos\frac{31^\circ-3^\circ}{2} = 2 \sin 17^\circ \cos 14^\circ$.

4. Подставим результат обратно во вторую часть исходного выражения:

$- 2 \sin 14^\circ (2 \sin 17^\circ \cos 14^\circ) = -4 \sin 14^\circ \cos 14^\circ \sin 17^\circ$.

5. Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$:

$-4 \sin 14^\circ \cos 14^\circ \sin 17^\circ = -2 \cdot (2 \sin 14^\circ \cos 14^\circ) \sin 17^\circ = -2 \sin(2 \cdot 14^\circ) \sin 17^\circ = -2 \sin 28^\circ \sin 17^\circ$.

6. Теперь применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

$-2 \sin 28^\circ \sin 17^\circ = -(\cos(28^\circ - 17^\circ) - \cos(28^\circ + 17^\circ)) = -(\cos 11^\circ - \cos 45^\circ) = \cos 45^\circ - \cos 11^\circ$.

7. Соберем все части вместе:

$(\cos 45^\circ + \cos 11^\circ) + (\cos 45^\circ - \cos 11^\circ) = \cos 45^\circ + \cos 11^\circ + \cos 45^\circ - \cos 11^\circ = 2 \cos 45^\circ$.

8. Подставим табличное значение $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

29.16. a) $ \cos 10^\circ \cos 30^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ; $

б) $ \sin 10^\circ \sin 30^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ. $

а) Вычислим значение выражения $ \cos 10° \cos 30° \cos 50° \cos 70° $.

Значение $ \cos 30° $ является известной величиной: $ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Перепишем выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10° \cos 50° \cos 70° $.

Теперь сгруппируем $ \cos 10° $ и $ \cos 50° $ и применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $. $ \cos 50° \cos 10° = \frac{1}{2}(\cos(50° + 10°) + \cos(50° - 10°)) = \frac{1}{2}(\cos 60° + \cos 40°) $.

Так как $ \cos 60° = \frac{1}{2} $, получаем: $ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos 40°) $.

Подставим это обратно в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos 40°)\right) \cdot \cos 70° = \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{2} + \cos 40°) \cos 70° $.

Раскроем скобки: $ \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{2}\cos 70° + \cos 40° \cos 70°) $.

Снова применим формулу произведения косинусов для $ \cos 40° \cos 70° $: $ \cos 70° \cos 40° = \frac{1}{2}(\cos(70° + 40°) + \cos(70° - 40°)) = \frac{1}{2}(\cos 110° + \cos 30°) $.

Подставим это в наше выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\cos 70° + \frac{1}{2}(\cos 110° + \cos 30°)\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}(\cos 70° + \cos 110° + \cos 30°) $.

Используем формулу приведения $ \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha $. $ \cos 110° = \cos(180° - 70°) = -\cos 70° $.

Выражение упрощается: $ \frac{\sqrt{3}}{8}(\cos 70° - \cos 70° + \cos 30°) = \frac{\sqrt{3}}{8} \cos 30° $.

Подставляем значение $ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $: $ \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16} $.

Ответ: $ \frac{3}{16} $

б) Вычислим значение выражения $ \sin 10° \sin 30° \sin 50° \sin 70° $.

Значение $ \sin 30° $ известно: $ \sin 30° = \frac{1}{2} $. Выражение принимает вид: $ \frac{1}{2} \sin 10° \sin 50° \sin 70° $.

Воспользуемся формулами приведения $ \sin \alpha = \cos(90° - \alpha) $ для преобразования синусов в косинусы:
$ \sin 10° = \cos(90° - 10°) = \cos 80° $
$ \sin 50° = \cos(90° - 50°) = \cos 40° $
$ \sin 70° = \cos(90° - 70°) = \cos 20° $

Подставим преобразованные значения в выражение: $ \frac{1}{2} \cos 80° \cos 40° \cos 20° $. Переставим множители для удобства: $ \frac{1}{2} \cos 20° \cos 40° \cos 80° $.

Вычислим произведение $ P = \cos 20° \cos 40° \cos 80° $. Для этого умножим и разделим его на $ 2 \sin 20° $: $ P = \frac{2 \sin 20° \cos 20° \cos 40° \cos 80°}{2 \sin 20°} $.

Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем: $ P = \frac{\sin 40° \cos 40° \cos 80°}{2 \sin 20°} $.

Повторим операцию, умножив числитель и знаменатель на 2: $ P = \frac{2 \sin 40° \cos 40° \cos 80°}{4 \sin 20°} = \frac{\sin 80° \cos 80°}{4 \sin 20°} $.

И еще раз: $ P = \frac{2 \sin 80° \cos 80°}{8 \sin 20°} = \frac{\sin 160°}{8 \sin 20°} $.

Используем формулу приведения $ \sin(180° - \alpha) = \sin \alpha $: $ \sin 160° = \sin(180° - 20°) = \sin 20° $.

Тогда произведение $ P $ равно: $ P = \frac{\sin 20°}{8 \sin 20°} = \frac{1}{8} $.

Теперь вернемся к исходному выражению: $ \frac{1}{2} \cdot P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16} $.

Ответ: $ \frac{1}{16} $