Номер 29.9, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.9. a) $4 \sin x \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin 3x;$

б) $\operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \operatorname{tg} 3x.$

Рассмотрим левую часть уравнения: $4 \sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x)$.

Для преобразования произведения $\sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x)$ воспользуемся формулой произведения синусов, которая является следствием формул синуса суммы и разности: $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$. Получаем:

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2 x = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного уравнения:

$4 \sin x (\frac{3}{4} - \sin^2 x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Выражение $3\sin x - 4\sin^3 x$ является формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна правой части: $\sin 3x = \sin 3x$.

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для всех значений $x$, при которых определены все функции в исходном уравнении. Функция $y = \sin x$ определена для всех действительных чисел. Следовательно, решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Функция $y = \tan \alpha$ определена, если ее аргумент $\alpha$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$, так как $\cos \alpha \neq 0$.

1. Для $\tan x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n_1, n_1 \in \mathbb{Z}$.
2. Для $\tan(\frac{\pi}{3} - x)$: $\frac{\pi}{3} - x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n_2 \implies x \neq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} - \pi n_2 \implies x \neq -\frac{\pi}{6} - \pi n_2, n_2 \in \mathbb{Z}$.
3. Для $\tan(\frac{\pi}{3} + x)$: $\frac{\pi}{3} + x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n_3 \implies x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n_3 \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n_3, n_3 \in \mathbb{Z}$.
4. Для $\tan(3x)$: $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Последнее условие, $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, включает в себя все предыдущие. Например, при $k=1$ получаем $x \neq \frac{\pi}{2}$, при $k=-1$ получаем $x \neq -\frac{\pi}{6}$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности: $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$ и значением $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

$\tan(\frac{\pi}{3} - x) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} - \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{3}\tan x} = \frac{\sqrt{3} - \tan x}{1 + \sqrt{3}\tan x}$

$\tan(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} + \tan x}{1 - \tan\frac{\pi}{3}\tan x} = \frac{\sqrt{3} + \tan x}{1 - \sqrt{3}\tan x}$

Перемножим эти два выражения:

$\tan(\frac{\pi}{3} - x)\tan(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{(\sqrt{3} - \tan x)(\sqrt{3} + \tan x)}{(1 + \sqrt{3}\tan x)(1 - \sqrt{3}\tan x)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - \tan^2 x}{1^2 - ( \sqrt{3}\tan x)^2} = \frac{3 - \tan^2 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

Теперь умножим результат на $\tan x$:

$\tan x \cdot \frac{3 - \tan^2 x}{1 - 3\tan^2 x} = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

Полученное выражение является известной формулой тангенса тройного угла: $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения тождественно равна правой: $\tan 3x = \tan 3x$.

Это равенство верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.