Номер 29.3, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.3. а) $ \cos \alpha \sin (\alpha + \beta) $;

б) $ \sin (60^{\circ} + \alpha) \sin (60^{\circ} - \alpha) $;

в) $ \sin \beta \cos (\alpha + \beta) $;

г) $ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

а) Для преобразования произведения $ \cos \alpha \sin (\alpha + \beta) $ в сумму, представим его как $ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha $ и воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin X \cos Y = \frac{1}{2}(\sin(X+Y) + \sin(X-Y)) $. Полагая $ X = \alpha + \beta $ и $ Y = \alpha $, получаем: $ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha = \frac{1}{2}(\sin((\alpha + \beta) + \alpha) + \sin((\alpha + \beta) - \alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta) $.

б) Для преобразования произведения $ \sin (60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ - \alpha) $ в сумму воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin X \sin Y = \frac{1}{2}(\cos(X-Y) - \cos(X+Y)) $. Пусть $ X = 60^\circ + \alpha $ и $ Y = 60^\circ - \alpha $. Тогда $ X - Y = (60^\circ + \alpha) - (60^\circ - \alpha) = 2\alpha $, а $ X + Y = (60^\circ + \alpha) + (60^\circ - \alpha) = 120^\circ $. Подставляя в формулу, получаем: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(120^\circ)) $. Так как $ \cos(120^\circ) = -0.5 $, выражение становится равным: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - (-0.5)) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + 0.5) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4} $.

в) Для преобразования произведения $ \sin \beta \cos (\alpha + \beta) $ в сумму воспользуемся формулой: $ \sin X \cos Y = \frac{1}{2}(\sin(X+Y) + \sin(X-Y)) $. Пусть $ X = \beta $ и $ Y = \alpha + \beta $. Тогда $ X + Y = \beta + (\alpha + \beta) = \alpha + 2\beta $, а $ X - Y = \beta - (\alpha + \beta) = -\alpha $. Подставляя в формулу, получаем: $ \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) + \sin(-\alpha)) $. Так как $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $, то получаем: $ \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha) $.

г) Для преобразования произведения $ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $ в сумму воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos X \cos Y = \frac{1}{2}(\cos(X+Y) + \cos(X-Y)) $. Пусть $ X = \alpha + \frac{\pi}{4} $ и $ Y = \alpha - \frac{\pi}{4} $. Тогда $ X + Y = (\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\alpha - \frac{\pi}{4}) = 2\alpha $, а $ X - Y = (\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} $. Подставляя в формулу, получаем: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})) $. Так как $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, выражение становится равным: $ \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + 0) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\cos(2\alpha) $.