Номер 29.6, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.6. a) $ \sin^2 x \cos 4x; $

б) $ \cos^2 2x \sin 3x. $

а) Для преобразования выражения $\sin^2 x \cos 4x$ (произведения в сумму) необходимо использовать тригонометрические формулы.
Сначала применим формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
Подставим это в исходное выражение:
$\sin^2 x \cos 4x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 2x \cos 4x)$
Теперь преобразуем произведение косинусов $\cos 2x \cos 4x$ в сумму, используя формулу: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
$\cos 2x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(4x - 2x) + \cos(4x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 6x)$
Подставим результат обратно:
$\frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 2x \cos 4x) = \frac{1}{2}\left(\cos 4x - \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 6x)\right)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{1}{2}\cos 4x - \frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 6x = \frac{1}{4}(2\cos 4x - \cos 2x - \cos 6x)$
Ответ: $\frac{1}{4}(2\cos 4x - \cos 2x - \cos 6x)$.

б) Для преобразования выражения $\cos^2 2x \sin 3x$ в сумму, сначала используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.
Применим ее к $\cos^2 2x$:
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 + \cos 4x}{2}$
Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2 2x \sin 3x = \left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right) \sin 3x = \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin 3x \cos 4x)$
Теперь преобразуем произведение синуса и косинуса $\sin 3x \cos 4x$ в сумму, используя формулу: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
$\sin 3x \cos 4x = \frac{1}{2}(\sin(3x + 4x) + \sin(3x - 4x)) = \frac{1}{2}(\sin 7x + \sin(-x))$
Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:
$\frac{1}{2}(\sin 7x - \sin x)$
Подставим результат обратно:
$\frac{1}{2}(\sin 3x + \sin 3x \cos 4x) = \frac{1}{2}\left(\sin 3x + \frac{1}{2}(\sin 7x - \sin x)\right)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{1}{4}\sin 7x - \frac{1}{4}\sin x = \frac{1}{4}(2\sin 3x + \sin 7x - \sin x)$
Ответ: $\frac{1}{4}(2\sin 3x - \sin x + \sin 7x)$.