Номер 29.2, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.2. a) $\sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta);$

Б) $\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta);$

В) $\cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\right);$

Г) $2 \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta).$

а) Для преобразования выражения $ \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) $ раскроем скобки, используя формулы синуса суммы и разности двух углов:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
Перемножим эти два выражения. Произведение представляет собой формулу разности квадратов $ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $, где $ A = \sin\alpha \cos\beta $ и $ B = \cos\alpha \sin\beta $.
$ \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha \cos\beta)^2 - (\cos\alpha \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta $
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $, чтобы выразить результат только через синусы:
$ \sin^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha) \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha \sin^2\beta $
После сокращения подобных слагаемых $ -\sin^2\alpha \sin^2\beta $ и $ +\sin^2\alpha \sin^2\beta $ получаем окончательный результат:
$ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $
Ответ: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $

б) Для преобразования выражения $ \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности двух углов:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $
Перемножим эти выражения, используя формулу разности квадратов $ (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 $, где $ A = \cos\alpha \cos\beta $ и $ B = \sin\alpha \sin\beta $.
$ \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta)^2 - (\sin\alpha \sin\beta)^2 = \cos^2\alpha \cos^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta $
Используем основное тригонометрическое тождество для упрощения. Заменим $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $:
$ \cos^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - \sin^2\alpha \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta $
Вынесем $ -\sin^2\beta $ за скобки:
$ \cos^2\alpha - \sin^2\beta (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $
Так как $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, получаем:
$ \cos^2\alpha - \sin^2\beta $
Ответ: $ \cos^2\alpha - \sin^2\beta $

в) Для преобразования произведения $ \cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) $ в сумму используем формулу произведения косинусов:
$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] $
В данном случае $ x = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} $ и $ y = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} $.
Найдем сумму и разность аргументов $ x $ и $ y $:
$ x+y = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) + (\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $
$ x-y = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) - (\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{2\beta}{2} = \beta $
Подставим полученные значения обратно в формулу:
$ \cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos\beta) $
Ответ: $ \frac{\cos\alpha + \cos\beta}{2} $

г) Для преобразования выражения $ 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $ используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:
$ 2 \sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y) $
В данном случае $ x = \alpha + \beta $ и $ y = \alpha - \beta $.
Найдем сумму и разность аргументов $ x $ и $ y $:
$ x+y = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 2\alpha $
$ x-y = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = 2\beta $
Подставим эти значения в формулу:
$ 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) $
Ответ: $ \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) $