Номер 28.33, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.33. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $ \left[0; \frac{\pi}{2}\right] $:

a) $ \sin 2x + \sin 6x = \cos 2x $;

б) $ 2 \cos^2 x - 1 = \sin 3x $?

a) Решим уравнение $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Преобразуем сумму синусов в левой части по формуле $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 2 \sin 4x \cos 2x$.
Уравнение принимает вид:
$2 \sin 4x \cos 2x = \cos 2x$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$2 \sin 4x \cos 2x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x (2 \sin 4x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$, что больше $\frac{\pi}{2}$.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$, что меньше 0.
Следовательно, из этого случая подходит только один корень $x = \frac{\pi}{4}$.
2) $2 \sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии решений:
$4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
$4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Для первой серии: при $n=0$, $x = \frac{\pi}{24}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}] = [0; \frac{12\pi}{24}]$.
Для второй серии: при $n=0$, $x = \frac{5\pi}{24}$. Этот корень также принадлежит отрезку.
При других целых значениях $n$ корни выходят за пределы заданного отрезка.
Итого, мы получили три различных корня на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$: $\frac{\pi}{24}$, $\frac{5\pi}{24}$ и $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: 3

б) Решим уравнение $2 \cos^2 x - 1 = \sin 3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Используем формулу косинуса двойного угла $2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha$.
Левая часть уравнения преобразуется в $\cos 2x$. Уравнение принимает вид:
$\cos 2x = \sin 3x$
Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos 2x = \cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$
Равенство косинусов возможно в двух случаях:
1) $2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{10}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{5\pi}{10}]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi + 4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит отрезку.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10}$, что больше $\frac{\pi}{2}$.
2) $2x = -(\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = 3x - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень уже найден в первом случае.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что меньше 0.
Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два различных корня: $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: 2