Номер 28.29, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.29. а) $1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$;

Б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$;

В) $\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{7x}{2}$;

Г) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$.

а) $1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$. При $2\alpha = 6x$, получаем $\alpha = 3x$.

Таким образом, $1 + \cos 6x = 2\cos^2 3x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2\cos^2 3x = 2\sin^2 5x$

$\cos^2 3x = \sin^2 5x$

Применим формулы понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ и $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{1 - \cos(10x)}{2}$

$1 + \cos(6x) = 1 - \cos(10x)$

$\cos(10x) + \cos(6x) = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{10x+6x}{2}\cos\frac{10x-6x}{2} = 0$

$2\cos(8x)\cos(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(8x) = 0 \implies 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений различны. Общее решение является их объединением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, \; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$

Применим формулы понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1 + \cos(8x)}{2}$

$1 + \cos(4x) = 1 + \cos(8x)$

$\cos(8x) - \cos(4x) = 0$

Используем формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin\frac{8x+4x}{2}\sin\frac{8x-4x}{2} = 0$

$-2\sin(6x)\sin(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin(6x) = 0 \implies 6x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если $x = \frac{\pi n}{2}$, то это можно представить как $x = \frac{3\pi n}{6}$. Это соответствует значениям $k$ из первой серии, кратным 3. Следовательно, достаточно указать только первую, более общую серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{7x}{2}$

Применим формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 + \cos(7x)}{2}$

$1 - \cos x = 1 + \cos(7x)$

$\cos(7x) + \cos x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2\cos(4x)\cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений не пересекаются. Общее решение является их объединением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$(1 - \cos^2 x) + \sin^2 3x = 1$

$\sin^2 3x = \cos^2 x$

Применим формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(6x)}{2} = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$1 - \cos(6x) = 1 + \cos(2x)$

$\cos(6x) + \cos(2x) = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 0$

$2\cos(4x)\cos(2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данные серии решений являются различными. Общее решение является их объединением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.