Номер 28.31, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.31. a) $ \text{tg } x + \text{tg } 5x = 0; $

б) $ \text{tg } 3x = \text{ctg } x; $

В) $ \text{tg } 2x = \text{tg } 4x; $

Г) $ \text{ctg } \frac{x}{2} + \text{ctg } \frac{3x}{2} = 0. $

а) $\tg x + \tg 5x = 0$

Данное уравнение определено, когда существуют оба тангенса, то есть когда их знаменатели (косинусы) не равны нулю. Область допустимых значений (ОДЗ):
$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\cos 5x \neq 0 \implies 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$

Преобразуем уравнение, представив тангенсы как отношение синуса к косинусу:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{\sin x \cos 5x + \cos x \sin 5x}{\cos x \cos 5x} = 0$
В числителе мы видим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:
$\frac{\sin(x + 5x)}{\cos x \cos 5x} = 0 \implies \frac{\sin(6x)}{\cos x \cos 5x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. $\sin(6x) = 0$
$6x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$
2. Знаменатель не равен нулю: $\cos x \neq 0$ и $\cos 5x \neq 0$.

Проверим, какие из найденных решений $x = \frac{\pi n}{6}$ не входят в ОДЗ.
$\cos x = 0 \implies \cos(\frac{\pi n}{6}) = 0 \implies \frac{\pi n}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies n = 3 + 6k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения $n$ (например, $n = \dots, -3, 3, 9, \dots$) необходимо исключить. Если $\cos x = 0$, то и $\cos 5x = \cos(5(\frac{\pi}{2}+\pi k)) = \cos(\frac{5\pi}{2}+5\pi k)=0$, так что вторая проверка ОДЗ дает те же исключения.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 3 + 6k$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg 3x = \ctg x$

ОДЗ:
$\cos 3x \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Используем формулу приведения $\ctg x = \tg(\frac{\pi}{2} - x)$. Уравнение принимает вид:
$\tg 3x = \tg(\frac{\pi}{2} - x)$
Равенство тангенсов $\tg \alpha = \tg \beta$ выполняется, когда $\alpha = \beta + \pi n$:
$3x = \frac{\pi}{2} - x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$

Проверим, удовлетворяют ли решения ОДЗ.
$\sin(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4})$ никогда не равен нулю, так как $1+2n=8m$ не имеет решений в целых числах.
$\cos(3(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4})) = \cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{4})$ никогда не равен нулю, так как $\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$ приводит к уравнению $3+6n=4+8k$ или $2(4k-3n)=-1$, которое не имеет целочисленных решений.
Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg 2x = \tg 4x$

ОДЗ:
$\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
$\cos 4x \neq 0 \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$

Из равенства $\tg \alpha = \tg \beta$ следует $\alpha = \beta + \pi n$:
$4x = 2x + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \pi n$
$x = \frac{\pi n}{2}$

Проверим ОДЗ.
Подставим решение в условия:
$\cos(2x) = \cos(2 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(\pi n) = (-1)^n$. Так как $(-1)^n \neq 0$, первое условие ОДЗ выполняется.
$\cos(4x) = \cos(4 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(2\pi n) = 1$. Так как $1 \neq 0$, второе условие ОДЗ также выполняется.
Все решения подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\ctg \frac{x}{2} + \ctg \frac{3x}{2} = 0$

ОДЗ:
$\sin \frac{x}{2} \neq 0 \implies \frac{x}{2} \neq \pi k \implies x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\sin \frac{3x}{2} \neq 0 \implies \frac{3x}{2} \neq \pi m \implies x \neq \frac{2\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$

Преобразуем уравнение:
$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} + \frac{\cos(3x/2)}{\sin(3x/2)} = 0$
$\frac{\sin(3x/2)\cos(x/2) + \cos(3x/2)\sin(x/2)}{\sin(x/2)\sin(3x/2)} = 0$
$\frac{\sin(3x/2 + x/2)}{\sin(x/2)\sin(3x/2)} = 0 \implies \frac{\sin(2x)}{\sin(x/2)\sin(3x/2)} = 0$

Числитель равен нулю:
$\sin(2x) = 0$
$2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{2}$

Проверим ОДЗ. Исключим значения $n$, для которых знаменатель равен нулю.
1. $\sin(x/2) = 0 \implies \sin(\frac{\pi n}{4}) = 0 \implies \frac{\pi n}{4} = \pi k \implies n = 4k$.
Значит, $n$ не должно быть кратно 4.
2. $\sin(3x/2) = 0 \implies \sin(\frac{3\pi n}{4}) = 0 \implies \frac{3\pi n}{4} = \pi m \implies 3n = 4m$.
Это также означает, что $n$ должно быть кратно 4.
Таким образом, из серии решений $x = \frac{\pi n}{2}$ нужно исключить те, где $n$ делится на 4.

Оставшиеся решения можно записать в виде двух серий:
1. Для нечетных $n=2k+1$: $x = \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
2. Для четных $n$, не кратных 4 ($n=4m+2$): $x = \frac{\pi(4m+2)}{2} = \pi(2m+1) = \pi + 2\pi m$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.